\(\sqrt{\left(3-5x\right)\left(x-6\right)}\ge0\)

\(< =>TH1:3-5x\ge0;x-6\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}3-5x\ge0\\x-6\ge0\end{cases}\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{5}\\x\ge6\end{cases}}}\)pt vô nghiệm

\(TH2:3-5x< 0;x-6< 0\)

\(\hept{\begin{cases}3-5x< 0\\x-6< 0\end{cases}\hept{\begin{cases}x>\frac{3}{5}\\x< 6\end{cases}}}\)

để căn thức đxđ thì\(\frac{3}{5}< x< 6\)

\(\sqrt{\left(3-5x\right)\left(x-6\right)}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow\left(3-5x\right)\left(x-5\right)\ge0\)

                                                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3-5x\ge0\\x-6\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}3-5x\le0\\x-6\le0\end{cases}}\)

                                                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{5}\\x\ge6\end{cases}}\)(vô lí)           Hoặc \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{5}\\x\le6\end{cases}}\)

                                                             \(\Leftrightarrow\frac{3}{5}\le x\le6\)

\(8^2=64=32+2\sqrt{16^2}\)

\(\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)^2=32+2\sqrt{15.17}=32+2\sqrt{\left(16-1\right)\left(16+1\right)}\)

\(=32+2\sqrt{16^2-1}\)

\(< =>8^2>\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)^2\)

\(8>\sqrt{15}+\sqrt{17}\)

\(\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2021}\right)^2=4040+2\sqrt{2019.2021}\)

\(=4040+2\sqrt{\left(2020-1\right)\left(2020+1\right)}=4040+2\sqrt{2020^2-1}\)

\(\left(2\sqrt{2020}\right)^2=8080=4040+2\sqrt{2020^2}\)

\(< =>\sqrt{2019}+\sqrt{2021}< 2\sqrt{2020}\)

mik chọn điền

< 

mik lười chép ại đề bài 

\(\hept{\begin{cases}x-2\sqrt{x-1}\ge0\\\sqrt{x-1}\ge0\\\sqrt{x-1}-1\ge0\end{cases}}\)\(\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2\sqrt{x-1}\\x-1\ge0\\\sqrt{x-1}\ge1\end{cases}}\)\(\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge4x-4\\x\ge1\\x-1\ge1\end{cases}}\)\(\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-4x+4\ge0\\x\ge1\\x\ge2\end{cases}}\)

  \(\leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2\ge0\\x\ge1\\x\ge2\end{cases}}\leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x\ge2\\x\ge1\\x\ge2\end{cases}\Rightarrow\Rightarrow x\ge2}\)

            Vậy: \(x\ge2\)thì biểu thức trên có nghĩa...~!

  !~ HỌC TỐT ~!

\(\frac{\sqrt{405}+3\sqrt{27}}{3\sqrt{3}+\sqrt{45}}=\frac{9\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{9\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{3\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}=\frac{9}{3}=3\)

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

làm tương tự với 2 cái còn lại ta đc:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

\(< =>ĐPCM\)

Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)

bạn quỳnh làm như nào mình không hiểu , bạn chỉ cho mình dòng thứ 2 đc không ?

Áp dụng liên tiếp BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)ta có :

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)

nếu dương thì dùng cô si 4 số để hạ bậc cũng được 

Chắc sai ;-;

\(x\ne\pm y\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}+\frac{48}{x-y}=7\\\frac{100}{x+y}-\frac{32}{x-y}=3\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\\frac{\frac{5}{4}.80}{x+y}-\frac{32}{x-y}=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\\frac{5}{4}\left(7-\frac{48}{x-y}\right)-\frac{32}{x-y}=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\\frac{35}{4}-\frac{60}{x-y}-\frac{32}{x-y}=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\\frac{35}{4}-\frac{92}{x-y}=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\\frac{92}{x-y}=\frac{23}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{x-y}\\x-y=16\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{80}{x+y}=7-\frac{48}{16}\\x-y=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=20\\x-y=16\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=18\\y=2\end{cases}}}\)

ĐK: \(x\ne\pm y\)

Đặt \(\frac{1}{x+y}=a;\frac{1}{x-y}=b\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}80a+48b=7\\100a-32b=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}100a+60b=\frac{35}{4}\\100a-32b=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}92b=\frac{23}{4}\\80a+48b=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{1}{16}\\a=\frac{1}{20}\end{cases}}\)

Trở lại cách đặt :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{20}\\\frac{1}{x-y}=\frac{1}{16}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=20\\x-y=16\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=36\\x+y=20\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=18\\y=2\end{cases}}\)(TMĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (18;2)

Đk: x \(\ge\)0; x \(\ne\)9; y \(\ne\)1/2

Đặt \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}=a\); \(\frac{1}{\left|2y-1\right|}=b\)(b \(\ge\)0)

Khi đó, ta có: \(\hept{\begin{cases}2a+b=5\\a+b=3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=3-b=1\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{\sqrt{x}-3}=2\\\frac{1}{\left|2y-1\right|}=1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{x}-6=4\\\left|2y-1\right|=1\end{cases}}\)

<=>> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=5\\\left|2y-1\right|=1\end{cases}}\) <=> x = 25 (tm)) và \(\orbr{\begin{cases}2y-1=1\\2y-1=-1\end{cases}}\) <=> x = 25 và \(\orbr{\begin{cases}y=1\\y=0\end{cases}}\left(tm\right)\)

Vậy (a;b) = {(25; 0); (25; 1)}

\(\frac{3\sqrt{x}+6-6}{\sqrt{x}+2}=3-\frac{6}{\sqrt{x}+2}\)

để biểu thức MIN thì \(\frac{6}{\sqrt{x}+2}\)là MAX

mà \(\sqrt{x}+2\ge2\)

để \(\frac{6}{\sqrt{x}+2}\)MAX

\(< =>\sqrt{x}+2=2< =>x=0\)

\(MIN:\frac{3\sqrt{0}}{\sqrt{0}+2}=0\)với x=0