a) \(\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}\)

\(=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}+1}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)}{3-1}\)

\(=\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}=4-3=1\)

c) \(\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}}=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\sqrt{\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}}\)

\(=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{12-2}}=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right)\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+1\right)}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}.\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=5\)

e) \(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}+1}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}+\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(a,A=\frac{2}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{x-4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(A=\frac{2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\)

\(b,A=\frac{\sqrt{x}-3+5}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{5}{\sqrt{x}-3}\)

để A nguyên \(5⋮\sqrt{x}-3\)

lập bảng ra đc 

\(x=\left\{2\right\}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

+ Nếu x ko là số chính phương

=> \(\sqrt{x}\) \(\notin Z\)

=> \(\sqrt{x}-1\notin Z\) 

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-1}\notin Z\) ( loại)

+ Nếu x là số chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\in Z\)

Để P nguyên thì \(1⋮\sqrt{x}-1\) 

Hay \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Xét bảng

Vậy ...

\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Rightarrow a+b-a-b< 2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow0< 2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow0< \sqrt{ab}\)(luôn đúng với a>0 và b>0)

Vây với a>0 và b>0 thì \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

a) Ta có: \(\Delta'=\left(-m\right)^2+m+1=m^2+m+1=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: \(\hept{\begin{cases}S=2x_1+3x_2+3x_1+2x_2=5\left(x_1+x_2\right)=5.2m=10m\\P=\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6x_1^2+13x_1x_2+6x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}S=10m\\P=6.\left(2m\right)^2-m-1=24m^2-m-1\end{cases}}\)

Hai nghiệm 2x₁ + 3x₂ và 3x₁ + 2x₂ là nghiệm của pt \(x^2-10mx+24m^2-m-1=0\)

b) Theo bài ra, ta có:

\(\left|2x_1+3x_2\right|+\left|3x_1+2x_2\right|=30\)

<=> \(\left(2x_1+3x_2\right)^2+\left(3x_1+2x_2\right)^2+2\left|\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)\right|=900\)

<=> \(\left(2x_1+3x_2+3x_1+2x_2\right)^2-2\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(\left(10m\right)^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(52m^2+2m+2+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(\left|24m^2-m-1\right|=449-26m^2-m\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}24m^2-m-1=449-26m^2-m\left(đk:m\ge\frac{1+\sqrt{97}}{48}hoặcx\le\frac{1-\sqrt{97}}{48}\right)\\24m^2-m-1=26m^2+m-449\left(đk:\frac{1-\sqrt{97}}{48}\le x\le\frac{1+\sqrt{97}}{48}\right)\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}50m^2=1\\2m^2+2m-448=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}m=\pm\frac{1}{5\sqrt{2}}\\m^2+m-224=0\end{cases}}\) (\(\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(ktm\right)\\m=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(tm\right)\end{cases}}\))

<=> \(m^2+m-224=0\)(có 2 nghiệm ko thõa mãn -> tự tính)

a) \(\Delta'=m^2+m+1>0\forall m\). Do đó phương trình cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}5\left(x_1+x_2\right)=10m\\\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=24m^2-m-1\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Viet đảo ta có được phương trình:

\(X^2-10mX+24m^2-m-1=0\left(1\right)\) nhận \(2x_1+3x_2\) và \(3x_1+2x_2\) làm nghiệm.

b) Để \(\left(1\right)\) có nghiệm thì \(100m^2\ge4\left(24m^2-m-1\right)\Leftrightarrow4m^2+4m+4\ge0\left(đ\right)\)

Ta có \(\left|X_1\right|+\left|X_2\right|=30\Leftrightarrow\left(X_1+X_2\right)^2-2X_1X_2+2\left|X_1X_2\right|-900=0\)

\(\Rightarrow100m^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|+900=0\)

+) Nếu \(24m^2-m-1\ge0\) thì \(100m^2+900=0\Leftrightarrow m=\pm3\)

+) Nếu \(24m^2-m-1< 0\) thì \(4m^2+4m+904=0\)(Vô nghiệm)

Vậy \(m=\pm3.\)

Gọi R,S lần lượt là điểm đối xứng với C,B qua N,P. Lấy Q' là trung điểm của RS.

Ta có: \(AR=CA-CR=CA-2.\frac{CA+CP-AP}{2}=AP-CP\)

Tương tự \(AS=AP-BP\). Vì \(BP=CP< PA\) nên \(AR=AS\)

Suy ra AQ' là trung tuyến của \(\Delta\)RAS và cũng là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

Mặt  khác tam giác BPC cân tại P có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC tại M, suy ra M là trung điểm BC

Theo tính chất đường trung bình thì tứ giác MNQ'P là hình bình hành

Do vậy Q' trùng với Q. Mà AQ' là phân giác góc BAC nên AQ là phân giác góc BAC.

Sửa cả đề và trong bài giải luôn: Thay điểm P nằm trong tam giác thành P', tránh trùng với điểm P trên cạnh AB.

Ta có: \(\left(x^2+2x\right)^2=\left(x^2+2x\right)+12\)

<=> \(\left(x^2+2x\right)^2-\left(x^2+2x\right)-12=0\)

<=> \(\left(x^2+2x\right)^2-4\left(x^2+2x\right)+3\left(x^2+2x\right)-12=0\)

<=> \(\left(x^2+2x-4\right)\left(x^2+2x+3\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+2x-4=0\\x^2+2x+3=0\end{cases}}\)

Xét: \(x^2+2x-4=0\)

\(\Delta'=1^2+4=5>0\) => pt luôn có 2 nghiệm pb: \(x_1=\sqrt{5}-1\); \(x_2=-1-\sqrt{5}\)

Xét \(x^2+2x+3=0\) <=> (x + 1)² + 2 = 0

Do (x + 1)² \(\ge\)0 => (x + 1)² + 2 > 0

=> pt vn

Vậy S = {\(\sqrt{5}-1;-1-\sqrt{5}\)}

\(\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.2\sqrt{5}.3+9}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2-2.2\sqrt{5}.3+3^2}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}=\left|2\sqrt{5}-3\right|=2\sqrt{5}-3\)

Ta có : P = sin3 α + cos3 α = ( sinα + cosα) 3 - 3sin α.cosα(sinα + cosα)

Ta có (sin α + cos α) 2 = sin2α + cos2α +  2sinα.cosα = 1 + 24/25 = 49/25.

Vì sin α + cosα > 0  nên ta chọn sinα + cosα = 7/5.

Thay   vào P ta được 

\(a,\frac{\sqrt{7x^2y^4}}{\sqrt{28x^4y^4}}\)

\(\frac{\sqrt{7}xy^2}{2\sqrt{7}x^2y^2}=\frac{1}{2x}\)

\(b,\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}\)

\(\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}+\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}+1\right)^2}\)

\(\left|\sqrt{2x-1}+1\right|+\left|\sqrt{2x-1}+1\right|\)

\(\sqrt{2x-1}+1+\sqrt{2x-1}+1\)

\(2\sqrt{2x-1}+2\)

\(c,\frac{1}{3}\sqrt{9x-27}+\sqrt{2x-6}-\sqrt{4x-12}=2-\sqrt{2}\)

\(\sqrt{x-3}+\sqrt{2}\sqrt{x-3}-2\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2}\)

\(\sqrt{x-3}\left(1+\sqrt{2}-2\right)=2-\sqrt{2}\)

\(\sqrt{x-3}\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(\sqrt{x-3}=\sqrt{2}\)

\(x-3=2< =>x=5\)

a) \(\frac{\sqrt{7\left(-x^2\right)y^4}}{\sqrt{28x^4y^4}}=\frac{\sqrt{7}xy^2}{2\sqrt{7}x^2y^2}=\frac{1}{2x}\)(vì  x > 0)

b) \(\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}\)

\(=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}+\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x+1}+1\right)^2}=\sqrt{2x-1}+1+\sqrt{2x+1}+1\)

\(=2\sqrt{2x-1}+2\)

c) ĐK: x \(\ge\)3

Ta có:: \(\frac{1}{3}\sqrt{9x-27}+\sqrt{2x-6}-\sqrt{4x-12}=2-\sqrt{2}\)

<=> \(\sqrt{x-3}+\sqrt{2}.\sqrt{x-3}-2\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2}\)

<=> \(\sqrt{x-3}.\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\)

<=> \(\sqrt{x-3}=\sqrt{2}\) <=> x - 3 = 2 <=> x = 5 (tm)