Ta có: \(M=\frac{a^2b+b^2a+1}{a+b}=\frac{ab\left(a+b\right)+1}{a+b}=ab+\frac{1}{a+b}=3+\frac{1}{a+b}\)(vì ab = 3)

Lại có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(bđt cosi) => \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)

=> \(3+\frac{1}{a+b}\le3+\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{18+\sqrt{3}}{6}\) => \(M\le\frac{18+\sqrt{3}}{6}\)

Dấu "=" xảy ra<=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\ab=3\end{cases}}\) <=> \(a=b=\sqrt{3}\)

Vậy MaxM = \(\frac{18+\sqrt{3}}{2}\) <=> \(a=b=\sqrt{3}\)

\(M=\frac{a^2b+b^2a+1}{a+b}=ab+\frac{1}{a+b}\le ab+\frac{1}{2\sqrt{ab}}=3+\frac{1}{\sqrt{3}}\)(BĐT tương đương)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)

\(< =>MIN:M=3+\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có: 

\(A=\left(1+tan^2x\right)cos^2x-\left(1+cot^2x\right)\left(cos^2x-1\right)\)

\(=\frac{1}{cos^2x}.cos^2x-\frac{1}{sin^2x}.sin^2x\)

\(=1-1=0\)

\(B=tan72^o-cot18^o+sin^230^o+sin^260^o\)

\(=tan72^o-tan72^o+sin^230^o+cos^230^o\)

\(=1\)

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{9-12\sqrt{5}+20}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}=\sqrt{\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)^2}=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{1}=1\)

a, Xét tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH 

Áp dụng định lí Pytago : \(\text{EF}=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{64+36}=10\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(DE^2=EH.BC\Rightarrow EH=x=\frac{DE^2}{BC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}\)cm 

=> \(FH=y=10-\frac{18}{5}=\frac{50-18}{5}=\frac{32}{5}\)cm 

b, 

Xét tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH ta có : 

Áp dụng định lí Pytago : \(NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(MH.NP=MN.MP\Rightarrow MH=x=\frac{MN.MP}{NP}=\frac{35}{\sqrt{74}}=\frac{35\sqrt{74}}{74}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(MP^2=HP.NP\Rightarrow HP=y=\frac{MP^2}{NP}=\frac{49}{\sqrt{74}}=\frac{49\sqrt{74}}{74}\)cm