a/ ĐKXĐ: $x\leq 2$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{2-x}\leq (2-x)+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}-x$

$\Rightarrow B=x+\sqrt{2-x}\leq x+\frac{9}{4}-x=\frac{9}{4}$
Vậy $B_{\max}=\frac{9}{4}$

Giá trị này đạt tại $2-x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{7}{4}$

b/ ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=16-x$

$\Rightarrow 2x+3=(16-x)^2=x^2-32x+256$

$\Leftrightarrow x^2-34x+253=0$

$\Leftrightarrow (x-23)(x-11)=0$

$\Rightarrow x=23$ hoặc $x=11$

Thử lại thấy $x=11$ thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{11\right\}$

Nhận xét : A, B, C, D có vai trò bình đẳng nhau nên nếu O không thuộc miền trong ∆ICD, chẳng hạn O thuộc miền trong ∆IAD, khi đó dễ dàng thấy S(ICD) < S(IAD). Vậy chỉ xét trường hợp O thuộc miền trong ∆ICD. 
Vẽ OH _|_ AC tại H; Vẽ OK _|_ BK tại K => IK = OH; IH = OK. Đặt IC = a > 0; ID = b > 0; 
Ta có: CH = IC - IH <=> CH² = IC² + IH² - 2IC.IH <=> OC² - OH² = IC² + OK² - 2IC.OK <=> 2IC.OK = IC² - OC² + (OH² + OK²) = IC² - OC² + OI² <=> 2a.OK = a² - 5 + 1 = a² - 4 <=> 2OK = a - 4/a <=> 4OK² = a² + 16/a² - 8 (1) 
Tương tự : 4OH² = b² + 16/b² - 8 (2) 
(1) + (2) : a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) - 16 = 4(OH² + OK²) = 4OI² = 4 
<=> a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) = 20 
<=> ab + 16/ab ≤ 10 (vì 2ab ≤ a² + b² ; 2/ab ≤ 1/a² + 1/b²) 
<=> S² - 5S + 4 ≤ 0 ( với S = ab/2 = S(ICD)) 
<=> (S - 5/2)² ≤ 9/4 
<=> - 3/2 ≤ S - 5/2 ≤ 3/2 
<=> 1 ≤ S ≤ 4 
Vậy Max S = 4 khi a = b = 2√2; Min S = 1 khi a = b = √2 
Nguồn: https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150404221719AAVrhVe

Đặt a+71=n² (n thuộc N) <=> 4a+284=4n² (1)

       4a-31=m² (m thuộc N) (2) 

Trừ cả 2 vế của (1) cho 2 vế của (2) ta được:

4n²-m²=315

<=> (2n-m)(2n+m)=3².5.7

Vì m, n thuộc N nên ta có:

TH1: 2n-m=9 và 2n+m=35 <=>n=11;m=13

TH2:2n-m=3 và 2n+m=105 <=>n=27; m=51

TH3:2n-m=5 và 2n+m=67 <=>n=17 và m=29

TH4: 2n-m=7 và 2n+m=45 <=> n=13 và m=19

TH5:2n-m=15 và 2n+m=21 <=>n=9 và m=3

Ta có a+71=n²

=> a lớn nhất khi n lớn nhất

=>n=27

=>a=27²-71=658

Vậy max a=658

còn trường hợp 1*315 thì sao ? ra a max = 6170

a/ Ta có: QP vuông góc với AM  tại P (gt) (1)

               AB vuông góc với AM tại A(do Ax là tiếp tuyến của (O) tại A) (2)

Từ (1) và (2)=> QP//AB (3)

Mà: AP=PM=1/2 AM (gt)(4)

Từ (3) và (4)=>QP là đường trung bình trong tam giác ABM

=> QB=QM=1/2 BM (5)

Mà OB=OA (=R) (6)

Từ (5) và (6)=>OQ là đường trung bình trong tam giác ABM

=>OQ//AM (7)

Từ (2) và (7)=>góc BOQ=90 độ (=góc BAM)(8)

Tứ giác BNAC nội tiếp (O)

=> góc BCN=góc BAN (9)

Mà góc BAN+ góc ABN=90 độ (tam giác BOQ vuông do góc QOB=90 độ) (10)

Từ (9) và (10)=> góc BCN+góc ABN=90 độ (11)

Lại có: góc ABN + góc BQO= 90 độ (Tam giác BOQ vuông) (12)

Từ (11) và (12)=> góc BCN=góc BQO 

hay góc BCN=góc OQN (do B, N, Q thẳng hàng) (đpcm)

Lời giải:

Xét hiệu: $a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+bc+ac)}{2}=\frac{(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac)}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac(1)$

Lại có:

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

$a< b+c$

$\Rightarrow a^2< a(b+c)$

Tương tự: $b^2< b(a+c); c^2< c(a+b)$

Cộng theo vế các BĐT trên: $a^2+b^2+c^2< a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

−1x−2009+y−2010−−−−−−−√−1y−2010+z−2011−−−−−−−√−1z−2011=34

Ta có

x−2009−−−−−−−√−1x−2009+y−2010−−−−−−−√−1y−2010+z−2011−−−−−−−√−1z−2011=34⇔(1x−2009−−−−−−−√−12)2+(1y−2010−−−−−−−√−12)2+(1z−2011−−−−−−−√−12)2=0

⇒x=2013,y=2014,z=2015

Thiếu điều kiện nhé