Hình bạn tự vẽ nha!!

a.)Ta có:\(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB}=90^0\) 

              \(BE\perp AD\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\)

Xét tứ giác \(AEHB\)có:

            \(\widehat{AHB}=\widehat{AEB}\left(=90^0\right)\)

Mà 2 góc này cùng nhìn \(AB\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác\(AEHB\)nội tiếp (o)

\(\Rightarrow\)\(A,E,H,B\in\)đường tròn.

b.)Có tứ giác \(AEHB\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{HBA}\)

\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{CBA}\)

Trong (o) có:\(\widehat{CDA}=\widehat{CBA}\)(2 góc nội tiếp chắn cung \(AC\))

\(\Rightarrow\widehat{CDA}=\widehat{DEN}\left(=\widehat{CBA}\right)\)

Mà 2 góc này ở vị trí SLT

\(\Rightarrow EH//CD\left(\text{đ}pcm\right)\)

Gọi O là giao điểm của CF và BE

Kẻ OH vuông góc với BC

Nối E với F

Ta có:BE và CF là trung tuyến

=>AB+AC=2BE+2CF

=>AB²+AC²=4BE²+4CF²

Áp dụng định lý py ta go cho tam giác BOE và COF ta có:

BE²=OE²+OB²=>4BE²=4(OE²+OB²)

và CF²=OF²+OC²=>4OF²=4(OF²+OC²)

=>AB²+AC²=4(OE²+OF²+OC²+OB²)(1)

Do E,F là trung điiểm của AB và AC =>EF=1/2BC

=>4EF²=BC²

Áp dụng đl py ta go cho tam giác OEF ta có:

EF²=OE²+OF²=>4EF²=4(OE²+OF²)=BC²

Từ 1 => AB²+AC²=BC²+4(OB²+OC²)(2)

Xét tam giác HOC và OBC ta có:

góc OHC=góc BOC=90⁰

góc BCO chung

=>tam giác HOC đồng dạng Tam giác OBC

=>\(\frac{HC}{OC}=\frac{OC}{BC}\Rightarrow OC^2=HC.BC\)

Tương tự ta có:\(OB^2=HB.BC\)

=>OB²+OC²=HB.BC+HC.BC=BC²

=>4(OB²+OC²)=4BC²(3)

Từ 2 và 3 => AB²+AC²=5BC²

Đặt \(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}=x\Rightarrow HB=x;HC=3x\)

TAm giác ABC vuông tại A , theo HT lượng :

                             \(AH^2=HB.HC\Leftrightarrow x.3x=144\Leftrightarrow3x^2=144\Rightarrow x^2=48\Rightarrow x=4\sqrt{3}\)

=> HB = \(4\sqrt{3}\)

=> HC = \(3\cdot4\sqrt{3}\)

=> BC =HB +HC = \(4\sqrt{3}+3.4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\left(1+3\right)=16\sqrt{3}\)  (cm)

gọi thời gian người thứ nhất làm xong công việc là x (h), x>6

 thời gian người thứ 2 làm xong công việc là y(h) , y>6

trong 1h người thứ nhất và ng thứ 2 làm được khối lượng cv tương ứng là: 1/x và 1/y

vì hai người làm chung trong 6h thì xong nên có pt: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)(1)

sau 3h20'= 10/3 h người thứ nhất làm được 10/3x công việc, sau 10h người thứ 2 làm được 10/y công việc thì hoàn thành công viejc nên có: \(\frac{10}{3x}+\frac{10}{y}=1\)(2)

giải hệ gồm (1) và (2) được x=10, y=15 h

Để BT xác định khi \(x^2+6\ge0\) Mà \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+6>0\) Với mọi x 

Nên BT luôn xác đinh vói mọi x

\(P=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{x}\left(\sqrt{2}+\sqrt{x}\right)}+\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=1\)