Đặt \(P=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

 Trước tiên ta sẽ chứng minh \(P\) chẵn.

 Ta thấy rằng một số nguyên thì hoặc là số chẵn, hoặc là số lẻ. Tuy nhiên, ta có tới 3 số nguyên a, b, c. Điều này có nghĩa là sẽ tồn tại ít nhất 2 số trong 3 số a, b, c có cùng tính chẵn lẻ (nguyên lý Dirichlet). Khi đó tổng của 2 số này là một số chẵn \(\Rightarrow\) P chẵn.

 Ta chứng minh \(P⋮3\)

 Nếu trong 3 số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 3, không mất tính tổng quát, giả sử số đó là a. Khi đó vì \(a,abc,a+b+c+abc\) đều chia hết cho 3 nên \(b+c⋮3\) \(\Rightarrow P⋮3\)

 Nếu trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 3 thì sẽ có 2 trường hợp:

 TH1: Cả 3 số này khi chia cho 3 có cùng số dư.

  Khi đó \(a+b+c⋮3\) trong khi \(abc⋮̸3\Rightarrow a+b+c+abc⋮̸3\), không thỏa mãn.

 TH2: 3 số a, b, c chia cho 3 không có cùng số dư. Khi đó tồn tại một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Tổng của 2 số này sẽ chia hết cho 3 \(\Rightarrow P⋮3\)

 Vậy \(P⋮3\)

 Ta có \(P⋮2,P⋮3\) và \(ƯCLN\left(2,3\right)=1\) nên \(P⋮6\). Ta có đpcm.

\(a\) \(\Rightarrow b+c⋮3\)

   42,5 \(\times\) 34,75  + 4,25 \(\times\) 652,5

= 4,25 x 347,5 + 4,25 x 652,5

= 4,25 x (347,5 + 652,5)

= 4,25 x 1000

= 4250

4,358

\(x\) \(\times\) 8,5  - 44 > 20

\(x\) \(\times\) 8,5  > 20 + 44

\(x\) \(\times\) 8,5 > 64

\(x\)           > 64 : 8,5

\(x\)          > \(\dfrac{128}{17}\)

\(x\)          > 7\(\dfrac{9}{17}\)

Vì 7\(\dfrac{9}{17}\) < 8; 9; 10; 11; 12;...

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 7\(\dfrac{9}{17}\) là 8

Vậy \(x=8\) 

         Đây là toán nâng cao chuyên đề bài toán tính tuổi, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau: 

                                     Giải:

Tổng số tuổi của ba ông cháu hiện nay là:

          100 - 9 = 91 (tuổi)

Coi tuổi ông hiện nay là một phần ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Tuổi ông hiện nay là: (91 + 54 + 59) : 3 = 68 (tuổi)

Tuổi cháu gái hiện nay là: 68 -  59 = 9 (tuổi)

Tuổi cháu trai hiện nay là: 68 - 54 = 14 (tuổi)

Đáp số: Tuổi ông hiện nay là: 68 (tuổi)

              Tuổi cháu gái hiện nay là: 9 tuổi

              Tuổi trai hiện nay là: 14 tuổi

      Đây là toán nâng cao chuyên đề dãy số có quy luật, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau: 

                                 Giải: 

A = \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{18}\) + \(\dfrac{1}{36}\) + \(\dfrac{1}{60}\) + \(\dfrac{1}{90}\) + ... + \(\dfrac{1}{216}\) + \(\dfrac{1}{270}\)

A = \(\dfrac{1}{3}\) \(\times\) (\(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{12}\) + \(\dfrac{1}{20}\) + \(\dfrac{1}{30}\) + .. + \(\dfrac{1}{72}\) + \(\dfrac{1}{90}\)) 

A = \(\dfrac{1}{3}\) \(\times\) (\(\dfrac{1}{1\times2}\) + \(\dfrac{1}{2\times3}\) + \(\dfrac{1}{3\times4}\) + \(\dfrac{1}{4\times5}\) + ... + \(\dfrac{1}{8\times9}\) + \(\dfrac{1}{9\times10}\)

A = \(\dfrac{1}{3}\) x (\(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + .. + \(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}\) + \(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\))

A = \(\dfrac{1}{3}\) x (\(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{10}\))

A = \(\dfrac{1}{3}\) x \(\dfrac{9}{10}\)

A = \(\dfrac{3}{10}\) < 8 

Vậy A = \(\dfrac{1}{6}\) + \(\dfrac{1}{18}\) + \(\dfrac{1}{36}\) + ... + \(\dfrac{1}{216}\) + \(\dfrac{1}{270}\) < 8

  Đây là toán nâng cao chuyên đề phép chia có dư, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng sơ đồ đoạn thẩng như sau: 

                        Giải:

    Tổng của số bị chia và số chia là: 8,8 - 0,8 = 8

    Coi số chia là một phần thì ta có sơ đồ:

    Theo sơ đồ ta có: Số chia là: (8 - 0,8) :(1 + 5) = 1,2

   Số bị chia là: 8 - 1,2 = 6,8

   Phép chia đó là: 6,8 : 1,2 = 5 dư 0,8

Đây là toán nâng cao chuyên đề số chính phương cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                       Giải:

A = \(2024^{4n}\) + \(2023^{4n}\) + \(2022^{4n}\) + 2021\(^{4n}\)

2024 \(\equiv\) 0 (mod 4) ⇒ \(2024^{4n}\) \(\equiv\) 0 (mod 4) 

2023 \(\equiv\) - 1 (mod 4) ⇒ 2023⁴ⁿ \(\equiv\) (-1)⁴ⁿ \(\equiv\) 1 (mod 4)

2022² = 2².1011² ⋮ 4⇒ 2022² \(\equiv\) 0 (mod 4) ⇒ (2022²)²ⁿ \(\equiv\) 0 (mod 4)

2021 \(\equiv\)  1 (mod 4) ⇒ 2021⁴ⁿ \(\equiv\) 1⁴ⁿ \(\equiv\) 1 (mod 4)

Cộng vế với vế ta được: 

2024⁴ⁿ+2023⁴ⁿ+2022⁴ⁿ+2021⁴ⁿ  \(\equiv\) 0 + 1 + 0 + 1 \(\equiv\) 2(mod4)

Vậy A chia 4 dư 2 trái với tính chất của số chính phương, số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư

Vậy A không phải là số chính phương (đpcm)

  S =   2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰

2S = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹

2S - S = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹ - 2 - 2² - 2³ - 2⁴ - ... - 2²⁰

S = (2³ - 2³) + (2⁴ - 2⁴) +...+(2²⁰ - 2²⁰) + 2²¹ - 2

S = 0 + 0  +... + 0 + 2²¹ - 2

S = 2²¹ - 2

S=2+2^2+2^3+...+2^20

2S=2^2+2^3+2^4+...+2^21

2S-S=(2^2+2^3+2^4+...+2^21)-(2+2^2+2^3+...+2^20)

S=2^21-2

Vậy S=2^21-2

       Đây là toán nâng cao chuyên đề chu vi diện tích các hình, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương  pháp sơ đồ đoạn thẳng như sau:

                               Giải:

Coi chiều rộng là 1 phần

Nửa chu vi gấp chiều rộng là: 6 : 2 = 3 (lần)

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Chiều rộng là: 16 : (3 - 1) = 8 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là: 

16 x 8 = 128 (cm²)

Đáp số: 128 cm² 

Đây là toán nâng cao chuyên đề sự tăng giảm diện tích các hình, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                                 Giải:

Khi chiều dài của hình chữ nhật giảm 30% thì chiều dài lúc sau là:

                 100% - 30% = 70% (chiều dài hình chữ nhật lúc đầu)

Khi chiều rộng hình chữ nhật giảm 30% thì chiều rộng lúc sau là: 

             100% + 30% = 130% 

Diện tích hình chữ nhật lúc sau là:

              70% x 130% = 91 % (diện tích hình chữ nhật lúc đầu)

Diện tích hình chữ nhật lúc sau là:

             300 x 91 : 100 = 273 (cm²)

Đáp số: 273 cm²