Trên bàn cờ \(n\times n\left(n\inℕ,n\ge2\right)\) đặt \(n-1\) con xe như hình: 

 Có 2 người chơi với lượt chơi luân phiên. Mỗi lần đi, cho phép di chuyển 1 quân xe theo hướng lên trên hoặc sang trái với số ô tùy ý (2 hay nhiều quân xe có thể đứng trên cùng 1 ô và 1 quân xe có thể đi xuyên qua 1 hay nhiều quân xe khác.) Người chơi nào đưa được tất cả các con xe về ô ở góc trên, bên trái thì người đó thắng.

 a) Hỏi với \(n=5\) thì có người chơi nào có chiến thuật thắng hay không? Nếu có, hãy mô tả chiến thuật đó. Nếu không, hãy giải thích vì sao.

 b) Hỏi với \(n\ge2\) bất kì, điều này có còn đúng hay không? Vì sao?

 c) Nếu thay quân xe ở góc dưới bên phải bằng quân hậu (hậu có thể đi như xe và theo đường chéo hướng lên trên, bên trái, cũng có thể ở cùng 1 ô với xe và có thể đi xuyên qua các quân xe) thì điều này có còn đúng không? Giải thích.

 1) Cho \(P\left(x\right),Q\left(x\right)\inℤ\left[x\right]\). Giả sử với mọi số nguyên dương \(n\) thì \(P\left(n\right),Q\left(n\right)>0\) đồng thời tồn tại \(d\) nguyên dương sao cho \(gcd\left(P\left(n\right),Q\left(n\right)\right)\le d\) với mọi \(n\) nguyên dương. Biết \(2^{Q\left(n\right)}-1|3^{P\left(n\right)}-1\) với mọi \(n\) nguyên dương. Chứng minh rằng \(Q\left(x\right)\) là đa thức hằng.

 2) Cho \(p\) là số nguyên tố sao cho \(q=2p+1\) cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng \(q\) có bội mà tổng các chữ số không quá 3.

 Xét một tập hợp gồm các ô trống hình tròn như hình vẽ lập thành tam giác đều có "cạnh \(n\)" như hình vẽ (trong hình thì \(n=6\))

 Ta thực hiện trò chơi sau: Ở hàng đầu tiên, mỗi ô hình tròn trong hàng này đều được tô ngẫu nhiên bởi 1 trong 3 màu: xanh, đỏ, vàng. Từ dòng thứ hai trở đi, ta tô màu theo quy tắc sau: 

 i) Nếu 2 ô liên tiếp ở dòng trên được tô bởi 2 màu khác nhau thì ô trống nằm ngay dưới 2 ô đó được tô bởi màu còn lại.

 ii) Nếu 2 ô liên tiếp ở hàng trên được tô bởi cùng 1 màu thì ô trống nằm ngay dưới 2 ô đó cũng được tô bởi màu này.

Cứ tiếp tục như thế cho đến hàng cuối cùng.

 a) Với \(n=4,n=10\), CMR màu ở ô trống hàng cuối cùng chính là tổng của 2 màu của 2 ô trống ở góc trên của tam giác đều.

 b) Với \(n=6,n=8\) điều này có còn đúng hay không? Vì sao?

 c) Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện ở a).