Bạn làm theo cách này nhé, sẽ ngắn gọn hơn !

Hạ đường cao AH của \(\Delta\)ABC.

Ta có: ^ADH là góc ngoài của \(\Delta\)ADB => ^ADH = ^ABD + ^BAD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Xét \(\Delta\)AHD có: ^AHD=90⁰; ^ADH=45⁰ => \(\Delta\)AHD vuông cân tại H => HD = AH. 

Dễ thấy: \(\Delta\)AHB là tam giác nửa đều => AH=1/2.AB => HD=1/2.AB

\(\Delta\)AHC cũng là tam giác nửa đều => HC=1/2.AC

=> HD + HC = 1/2 (AB+AC) => CD = (AB+AC)/2

=> AC + CD = AC +  (AB+AC)/2. Do \(\Delta\)ABC nửa đều => AC=BC/2

=> AC + CD = BC/2 + (AB+AC)/2 = C_ABC/2 (đpcm).

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại E. DE giao AB ở I

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên CD và DE

Xét \(\Delta\)BID và \(\Delta\)AIE: ^BDI = ^EAI = 90⁰; ^BID = ^AIE (Đối đỉnh)

=> ^DBI = ^AEI hay ^HBA = ^KEA

Ta có: ^HAB + ^HBA =90⁰; ^KAE + ^KEA = 90⁰. Mà ^HBA=^KEA => ^HAB = ^KAE.

Ta thấy: ^ADC là góc ngoài \(\Delta\)BAD => ^ADC = ^BAD + ^ABD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Mà ^CDE = 90⁰ = .^CDE= 2.^ADC => DA là phân giác ^CDE

Do H và K là hình chiếu của A lên CD và DE => AH=AK (T/c đường phân giác)

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AKE: AH=AK; ^AHB = ^AKE =90⁰; ^HAB = ^KAE (cmt)

=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)AKE (g.c.g)  => AB=AE (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)CDE: ^CDE=90⁰; ^DCE=60⁰ => \(\Delta\)CDE là tam giác nửa đều

= > \(CD=\frac{CE}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(Do AB=AE)

\(\Leftrightarrow AC+CD=AC+\frac{AB+AC}{2}\)(1)

Mặt khác \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều => \(AC=\frac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AC+CD=\frac{BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{C_{\Delta ABC}}{2}\)

=> ĐPCM.

\(P\left(x\right)=\left(x^{99}-99x^{98}\right)-\left(x^{98}-99x^{97}\right)+\left(x^{97}-99x^{96}\right)-...-\left(x^2-99x\right)+x-1\)

             \(=\left(x-99\right)\left(x^{98}-x^{97}+x^{96}-...+x^2-x\right)+x-1\)

\(P\left(99\right)=\left(99-99\right)\left(99^{98}-99^{97}+99^{96}-...+99^2-99\right)+99-1=98\)

Ta có : x = 99 

=> 100 = x + 1 

Ta có : P(99) = x⁹⁹ - (x + 1)x⁹⁸ + (x + 1)x⁹⁷ - (x + 1)x⁹⁶ + ..... + (x + 1)x  - 1

                     = x⁹⁹ - x⁹⁹ - x⁹⁸ + x⁹⁸ + x⁹⁷ - x⁹⁷ - x⁹⁶ + .... + x² + x - 1 

                     = x - 1 

                    = 99 - 1 = 98 

Ta có:

\(\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)^{2016}=\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)^{2015}.\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)\)

\(>\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)^{2015}.2016^{2015}=\left[\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)2016\right]^{2015}\)

\(>\left(2015^{2015}.2015+2016^{2015}.2016\right)^{2015}=\left(2015^{2016}+2016^{2016}\right)^{2015}\)

Vậy \(\left(2015^{2015}+2016^{2015}\right)^{2016}>\left(2015^{2016}+2016^{2016}\right)^{2015}\)

1. Ta sẽ chứng minh \(2015^{2016}>2016^{2015}\)

\(\Leftrightarrow2016^{2015}-2015^{2016}< 0\Leftrightarrow2016^{2016}-2016.2015^{2016}< 0\)

\(\Leftrightarrow2016.2016^{2016}-2015.2016^{2016}-2016.2015^{2016}< 0\)

\(\Leftrightarrow2016\left(2016^{2016}-2015^{2016}\right)< 2015.2016^{2016}\)

\(\Leftrightarrow2016\left(2016^{2015}+2016^{2014}.2015+...+2015^{2015}\right)< 2015.2016^{2016}\)

\(\Leftrightarrow2016^{2015}.2015+...+2016.2015^{2015}< 2014.2016^{2016}\)

\(\Leftrightarrow2016^{2014}.2015+2016^{2013}.2015^2+...+2015^{2015}< 2014.2016^{2015}\)

\(\Leftrightarrow2015^{2015}< \left(2016^{2015}-2015.2016^{2014}\right)+\left(2016^{2015}-2015^2.2016^{2013}\right)\)

\(+...+\left(2016^{2015}-2015^{2014}.2016\right)\)

\(\Leftrightarrow2015^{2015}< 2014.2016^{2014}+2013.2016^{2014}.2015+...+2016.2015^{2013}\)

Lại có \(2015^{2015}=2014.2015^{2014}+2015^{2014}< 2014.2016^{2014}+2015^{2014}\)

Mà \(2015^{2014}< 2013.2016^{2014}.2015\)

nên \(2015^{2014}< 2014.2016^{2014}+2013.2016^{2014}.2015+...+2016.2015^{2013}\)

Vậy \(2015^{2016}>2016^{2015}.\)

Trên nửa mặt phẳng bờ là AM có chứa điểm C dựng tam giác đều AMD, nối DC

Xét \(\Delta\)ABC cân tại A có ^ABC=^ACB=40⁰ => ^BAC=100⁰ 

Do \(\Delta\)AMD đều => ^MAD=60⁰ => ^CAD=^BAC - ^MAD = 40⁰ => ^CAD=^ABC (=40⁰) .

Ta có: AD=AM. Mà AM=BC => AD=BC

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)CAD: AB=CA; ^ABC=^CAD (cmt); BC=AD (cmt)

=> \(\Delta\)ABC=\(\Delta\)CAD (c.g.c) => AC=CD => C thuộc trung trực của AD

Mà M cũng thuộc trung trực AD (Do MA=MD) => MC là trung trực của AD

 Xét \(\Delta\)MAD đều có MC là trung trực cạnh AD => MC là phân giác ^AMD

=> ^AMC= 1/2.^AMD= 1/2. 60⁰ = 30⁰.

Vậy .....

dể thế mà éo biết

Lấy E đối xứng với D qua AB, ED cắt AB tại I

Vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\)\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}< 1\)

\(\Rightarrow BD< CD\)

\(\Rightarrow BC>2BD\)

Vì DI // CH

\(\Rightarrow\frac{DI}{CH}=\frac{BD}{BC}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow CH>2DI=DE\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\)ta có: \(AB< AC< BC\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}< \widehat{ABC}< \widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow2\widehat{BAC}>\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}>\frac{\widehat{ACB}+\widehat{ABC}}{2}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\)

Xét \(\Delta AED\)ta có:

\(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{EAD}}{2}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}< \widehat{BAC}=\widehat{EAD}\)

\(\Rightarrow ED>AE=AD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CH>AD\)

mk mới học lớp 5 nên ko biết, mong bạn thông cảm, chúc bạn học giỏi nha

Nhận xét về dãy số. Ta thấy rằng dã số này thì có 2 tính chất cần chú ý.

Thứ 1: Số hạng thứ n là tổng của n số lẻ liên tiếp.

Thứ 2: Số bé nhất trong n số của số hạng n sẽ có dạng: \(2k+1\)(với k là tổng số chữ số của (n - 1) số hạn trước đó:

(Ví dụ: Số hạng thứ 5 trong dãy sẽ có \(k=1+2+3+4=10\)sợ you không hiểu chỗ này nên cho ví dụ đấy)

Giờ ta chứng minh với n bất kỳ thì dãy này luôn đúng yêu cầu bài toán:

Xét số thứ n trong dãy:

Ta có \(k=1+2+...+\left(n-1\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)

Số hạng thứ n của dãy sẽ là: \(\left(2k+1\right)+\left(2k+3\right)+...+\left(2k+1+2\left(n-1\right)\right)\)

\(=2kn+\left(1+3+...+\left(2n-1\right)\right)\)

\(=2kn+n^2\)

\(=2.\frac{n\left(n-1\right)}{2}.n+n^2=n^2\left(n-1+1\right)=n^3\)

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{z+x+1}=\frac{z}{x+y+1}=x+y+z=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)+3}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(1-\frac{1}{2\left(x+y+z\right)+3}\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\2\left(x+y+z\right)+3=1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x+y+z=-1\end{cases}}}\)

Vậy mọi số x,y,z thỏa mãn \(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x+y+z=-1\end{cases}}\) đều thỏa mãn bài toán

cứ sai sai kiểu gì đây

:v cả chuyên mục câu hỏi hay :V

Câu 1:

Số số hạng của dãy là:

(99-1):1+1=99( số hạng)

Tổng của dãy trên là:

(99+1).99:2=4950

Câu 2:

Số hạng của dãy là:

(999-1):2+1=500 ( số hạng)

Tổng của dãy trên là:

(999+1).500:2=250000

Câu 3:

Số hạng của dãy là:

(998-10):2+1=495 ( số hạng)

Tổng của dãy trên là:

(998+10).495:2=249480

Bài 1 

Số số hạng = ( 99 - 1 ) : 2 + 1 = 99 

B = ( 1 + 99 ) x 99 : 2 = 4950 

Bài 2 

Số số hạng = ( 999 - 1 ) : 2 + 1 = 500 

C = ( 1 + 999 ) x 500 : 2 = 250000 

Bài 3 

Số số hạng = ( 998 - 10 ) : 2 + 1 = 495 

D = ( 10 + 998 ) x 495 : 2 = 249480 

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, ta dựng 1 tam giác đều BIC. 

Gọi giao điểm của tia CI với AB là K.

Dễ thấy 3 điểm B,I,E thẳng hàng (Do ^CBI=^CBE=60⁰)

Ta có: ^ABC=^ACB => ^ABE+^CBE=^ACK+^BCK. Mà ^CBE=^BCK=60⁰

=> ^ABE=^ACK => \(\Delta\)AEB=\(\Delta\)AKC (g.c.g) = >AE=AK (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)AKE cân tại A. Mà 2 điểm K và E lần lượt thuộc 2 cạnh AB và AC của \(\Delta\)ABC cân tại A

=> KE//BC => Dễ dàng chứng minh được \(\Delta\)KEI đều => KE=IE=IK

Xét \(\Delta\)DBC: Có ^DBC=80⁰ và ^BCD=50⁰.

Thấy rằng 50⁰=(180⁰-80⁰)/2 => \(\Delta\)DBC cân tại đỉnh B => BC=BD

Vì \(\Delta\)BIC đều nên BC=BI => BD=BI => \(\Delta\)DBI cân tại B

Có thể tính được ^IBD=20⁰ => ^BDI=^BID=80⁰

=> ^DIK=^BIK-^BID= 120⁰-80⁰ = 40⁰. (Do ^BIK=120⁰) (1)

Xét \(\Delta\)KBC: ^KBC=80⁰; ^KCB=60⁰ => ^BKC=40⁰ hay ^DKI=40⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^DIK=^DKI => \(\Delta\)KDI cân tại D => DK=DI

Xét \(\Delta\)DKE và \(\Delta\)DIE có: DK=DI; DE chung; KE=IE (cmt) => \(\Delta\)DKE=\(\Delta\)DIE (c.c.c)

=> ^KED=^IED (2 góc tương ứng). Mà ^KED+^IED=^KEI=60⁰ => ^IED= 60⁰/2 =30⁰

hay ^BED=30⁰.

ĐS:...

Mình làm được rồi nhưng thấy bảo là Toán lớp 7 nên lỡ xóa đi. Bây giờ chả nhớ cách giải. Hu Hu

Ta có

\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b-2}{c}=\frac{b+c+1}{a}=\frac{c+a+1}{b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Ta có

\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b-2}{c}=\frac{c+2}{2-c}=2\)

\(\Rightarrow c=\frac{2}{3}\)

\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{c+a+1}{b}=\frac{b-1}{2-b}=2\)

\(\Rightarrow b=\frac{5}{3}\)

\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{b+c+1}{a}=\frac{a-1}{2-a}=2\)

\(\Rightarrow a=\frac{5}{3}\)

\(a,b,c\ne o\)

VA \(a+b+c\ne o\)

LÀ HAI ĐIỀU KIỆN HOÀN TOÀN KHÁC NHAU VẬY MÀ ALIBABA XEM NHƯ LÀ MỘT.