Ta có: 

\(S=3.2^0-3^1+3.2^1-3^2+3.2^2+3.2^3-3^3+3.2^4-3^4+...-3^7+3.2^{10}+3.2^{11}-3^8+3.2^{12}\)

\(=3.\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+2^{11}+2^{12}\right)-\left(3^1+3^2+3^3+...+3^7+3^8\right)\)

Đặt: \(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{11}+2^{12}\)

=> \(2.A=2^1+2^2+2^3+...+2^{12}+2^{13}\)

=> \(2.A-A=2^{13}-2^0\)

\(\Rightarrow A=2^{13}-1=8191\)

Đặt: \(B=3^1+3^2+3^3+...+3^8\)

 \(\Rightarrow3.B=3^2+3^3+3^4+...+3^9\)

=> \(3B-B=3^9-3^1=19680\)

=> \(2B=19680\Rightarrow B=9840\)

=> S=3.A-B=3.8191-9840=14733

Ta có :

\(A=2^{3.2019}=8^{2019}< 10^{2019}\)

=> A có tổng số các chữ số nhiều nhất là: 2019

B là tổng các các chữ số của A

=> \(B\le2019.9=18171\)

C là tổng các chữ số của B

=> \(C\le1+8+1+7+1=18\)

D là tổng các chữ số của D

=> \(D\le1+8=9\)

Mặt khác ta có: \(A=\left(2^3\right)^{2019}\equiv\left(-1\right)^{2019}\equiv-1\left(mod9\right)\)=> \(D\equiv-1\equiv8\left(mod9\right)\)

=> D=8 

Ta Có:

A=2^3.2019=8²⁰¹⁹<10²⁰¹⁹

=> A có tổng số các chữ số nhiều nhất là: 2019

B là tổng các các chữ số của A

=>B≤2019.9=18171

C là tổng các chữ số của B

=> 1+8+1+7+1=18

D là tổng các chữ số của DD≤1+8=9

Mặt khác ta có:

A=(2³)²⁰¹⁹≡(−1)²⁰¹⁹≡−1(mod9)

=>D≡−1≡8(mod9)

=> D=8 

p=2 thì p^4+2 là hợp số

p=3 =>p^4+2=83 là số nguyên tố

với p>3 thì p có dang 3k+1 và 3k+2 thay vào chúng đều là hợp số

vậy p=3

giả sử x = 2n + 2003, y = 3n + 1005 là các số chính phương

Đặt  2n + 2003 = k²        (1)      và  3n + 2005 = m²              (2)   (k, m \(\in\) N)

trừ theo từng vế của (1), (2) ta có: 

 n + 2 = m² - k²

khử n từ (1) và (2)  =>  3k²  - 2m² = 1999            (3)

từ (1)   =>  k là số lẻ . Đặt k = 2a + 1 ( a Z) . Khi đó : (3) <=> 3 (2a -1) ²  - 2m² = 1999 

<=> 2m² = 12a² + 12a - 1996 <=> m² = 6a² + 6a - 998 <=> m² = 6a (a+1) - 1000 + 2             (4)

vì a(a+1) chia hết cho 2 nên 6a (a+1) chia hết cho 4, 1000 chia hết cho 4 , vì thế từ (4) =>  m² chia 4 dư 2, vô lý

vậy ko tồn tại các số nguyên dương n thỏa mãn bài toán

Gọi lần lượt các cạch hình vuông A;B;C;...;H là a;b;c;...;h

Nhìn hình ta thấy:\(b=32:4=8\)

\(g+h=b;b+h=c;c+h=d;b+g=a\)

\(\Rightarrow a+b+c=2b-h+b+b+h=4b=32\)

\(f+a=c+d+e\)(tính chất HCN)

\(\Leftrightarrow2b-h+e+i=b+h+b+2h+e\)

\(\Leftrightarrow i-h=3h\)

\(\Leftrightarrow i=4h\)

Mà \(a+b+c=f+e\)

\(\Leftrightarrow32=2e+i=2e+4h=4b\)

\(\Rightarrow2\left(c+d+e\right)=a+f+c+d+e\)

                         \(=2b-h+i+e+b+h+b+2h+e\)

                         \(=4b+i+2h+2e=4b+2h+4b=8b+2h\)

\(\Rightarrow c+d+e=4b+h\Leftrightarrow b+h+b+2h+b+6h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow3b+9h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow8h=b\)

\(\Rightarrow c+d+e=3b+9h=3b+b+\frac{1}{8}b=33\)

Vậy diện tích HCN đó bằng:

\(\left(a+b+c\right)\left(c+d+e\right)=32\cdot33=1056\left(cm^2\right)\)

Gọi x là cạnh cái hình vuông H có chút xíu 

Tìm đc cạnh của hình vuông B là 8

-Cạnh hình vuông C: x+8

-Cạnh hình vuông G: 8-x 

-Cạnh hình vuông D: 2x+8

-Cạnh hình vuông A: 16-x

-Cạnh hình vuông I: Cạnh hình vuông D-G+x = 4x

-Cạnh hình vuông E: 6x+8

-Cạnh hình vuông F: 10x+8

Bình phương ba cái cạnh lên rồi sau đó công lại: 

Gọi \(v_A\)là vận tốc Tiến Dũng

Gọi \(v_B\)là vận tốc Văn Lâm

và x là chu vi sân =>AB=x/2

Chặn 1: Gặp tại C: \(\frac{83}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}-83}{v_B}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{v_A+v_B}\)

Chặn 2: Gặp tại D: \(\frac{S_{CD\left(A\right)}}{v_A}=\frac{S_{CD\left(B\right)}}{v_B}\Rightarrow\frac{BC+BD}{v_A}=\frac{AC+AD}{v_B}\Rightarrow\frac{\frac{x}{2}-83+76}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}+83-76}{v_B}=\frac{x}{v_A+v_B}\)

Từ đây liên hệ đc đại lương 2 chặn

Giải đc: x=346 m

Đặt chu vi sân vận động là \(x.\)

Vì hai người chạy với vận tốc không đổi nên:

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần đầu gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}\)

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần thứ hai gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{\left(\frac{1}{2}x-83\right)+76}{83+\left(\frac{1}{2}x-76\right)}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow83\left(\frac{1}{2}x+7\right)=\left(\frac{1}{2}x-83\right)\left(\frac{1}{2}x-7\right)\)

\(\Rightarrow83\frac{1}{2}x+83\cdot7=\frac{\left(x-83\cdot2\right)}{2}\cdot\frac{\left(x-7\cdot2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow41.5x+581=\frac{\left(x-166\right)\left(x-14\right)}{4}\)

\(\Rightarrow4\left(41.5x+581\right)=\left(x-166\right)\left(x-14\right)\)

\(\Rightarrow4\cdot41.5x+4\cdot581=-166x+x^2-14x+14\cdot166\)

\(\Rightarrow166x+2324=\left(-166x-14x\right)+x^2+2324\)

\(\Rightarrow166x=-180x+x^2\)

\(\Rightarrow x^2=166x+180x\)

\(\Rightarrow x^2=346x\)

\(\Rightarrow x=346\)

Mình làm vậy đúng không nhỉ?

Thử vài trường hợp đầu:

      16= 4²

      1156 = 34²

      111556 = 334²

Như vậy có thể gợi ý:

    11...1155..56 = 33..34²  (ở đây có n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và n chữ số 3)

Ta có nhận xét:

      11..11 11..11        (2n + 2 chữ số 1)

+              44..44       (n + 1  chữ số 4)

                        1

     11..11155..56     (n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và 1 chữ số 6)

Vậy 11..11155..56 = 111...1 + 44..44 + 1

= \(\frac{99..99}{9}+4\frac{9..9}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}}{9}+4\frac{10^{n+1}}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}-1}{9}+4\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}\)

=\(\frac{\left(10^{n+1}\right)^2+4.10^{n+1}+2^2}{9}\)

= \(\frac{\left(10^{n+1}+2\right)^2}{9}\)

=\(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

= \(\left(\frac{100..02}{3}\right)^2\)

= 333...34²

khó ha? có ai thấy dễ ko?

Ta có : 

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)

\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên : 
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\) 

\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(n-2< S< n-1\)

Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên 

Vậy \(S\) không là số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

Với n = 0 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ + 2005n = 0²⁰⁰⁵ + 2005⁰ + 2005.0 = 1 + 1 + 0 = 2 không chia hết cho 3, loại.

Với n = 1 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ  + 2005n = 1²⁰⁰⁵ + 2005¹ + 2005.1 = 1 + 2005 + 2005 = 4011 chia hết cho 3.

Với n > 1 thì đều ra trường hợp không chia hết cho 3.

             Vậy n = 1

vi 2005 chia cho 3 du 1 nen 2005ⁿ=3k+1

ta chia 3TH:

TH₁:n=3k

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=(3k+1+3k+3k) chia cho 3 du 1(loại)

TH₂:n=3k+1

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+1+3k+1=3(3k+1)chia het cho 3

TH₃:n=3k+2

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+2+3k+2=3.3k+5chia cho 3 du 1(loai)

vậy n có dang 3k+1 thi 2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n chia het cho 3

Đặt abcd ta có ab-cd và k  N, 32 bé hơn hoặc bằng k < 100

Suy ra : 101cd = k² – 100 = (k – 10)(k + 10) =>k + 10chia hết 101 hoặc k – 10 chia hết101

Mà (k – 10; 101) = 1  => k + 10chia hết 101

Vì 32 bé hơn hoặc bằng k < 100 nên 42 bé hơn hoặc bằng k + 10 < 110 => k + 10 = 101 => k = 91

suy ra abcd= 91² = 8281

đặt k = gì ghi rõ ra đi

Vì \(p^2;q^2\)là số chính phương 

=> \(p^2;q^2\)chia 5 luôn dư 0,1,4

Mà 886 chia 5 dư 1

=> p^2 chia hết cho 5 , q^2 chia 5 dư 1 và ngược lại

Mà p là số nguyên tố

nên \(p=5\)=> \(q=29\)thỏa mãn q là số nguyên tố 

Vậy \(\left(p,q\right)=\left(5;29\right),\left(29;5\right)\)

Ta có \(p^2+q^2=866\)

=> \(p^2;q^2\) cùng lẻ hoặc cùng chẵn

Vì p, q là hai số nguyên tố

=> \(p^2;q^2\)cùng lẻ

Ta lại có:  \(p^2+q^2=866\)có chữ số tận cùng là 6

Không mất tính tổng quát : G/s chữ số tận cùng của \(p^2\) lớn hơn hoặc bằng chữ số tận cùng của \(q^2\)

TH1: \(q^2\) có chữ số tận cùng là 1 ; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 5

=> \(p^2\) chia hết cho 5 => \(p⋮5\)

=> p=5 => \(p^2=25\Rightarrow25+q^2=866\Rightarrow q^2=841=29^2\Rightarrow q=29\)

=> \(p=5;q=29\) thỏa mãn

TH2:  \(q^2\) có chữ số tận cùng là 3 ; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 3 

Trường hợp này loại vì tận cùng của một số chính phương không thể là số 3

TH3:  \(q^2\) có chữ số tận cùng là 7; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 9

Trường hợp này loại vì tận cùng của một số chính phương không thể là số 7

Kết luận : p=5; q=29 hoặc p=29;q=5