\(10A=\frac{10^{12}-1-9}{10^{12}-1}=\frac{10^{12}-9}{10^{12}}-1\)

\(10B=\frac{10^{11}+1+9}{10^{11}+1}=\frac{10^{11}+9}{10^{11}}+1\)

ta có: \(A=\frac{10^{11}-1}{10^{12}-1}\)

\(\Rightarrow10.A=\frac{10^{12}-10}{10^{12}-1}=\frac{10^{12}-1-9}{10^{12}-1}=\frac{10^{12}-1}{10^{12}-1}-\frac{9}{10^{12}-1}\)\(=1-\frac{9}{10^{12}-1}< 1\)

ta có: \(B=\frac{10^{10}+1}{10^{11}+1}\)

\(\Rightarrow10.B=\frac{10^{11}+10}{10^{11}+1}=\frac{10^{11}+1+9}{10^{11}+1}=\frac{10^{11}+1}{10^{11}+1}+\frac{9}{10^{11}+1}\)\(=1+\frac{9}{10^{11}+1}>1\)

\(\Rightarrow10.A< 10.B\)

\(\Rightarrow A< B\)

\(2P=2^{2021}+2^{2020}+...+2^3+2^2+2\)

\(P=2P-P=2^{2021}-1\)

\(\Rightarrow Q=2020^{2^{2021}-1}\)

P = 2²⁰²⁰ + 2²⁰¹⁹ + ....+ 2²  + 2 +1 

=> 2P = 2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰ + ....+ 2³ + 2² + 2 

=> 2P-P = (2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰ + ....+ 2³ + 2² + 2 )- ( 2²⁰²⁰ + 2²⁰¹⁹ + ....+ 2²  + 2 +1 ) 

=> P = 2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰ + ....+ 2³ + 2² + 2  - 2²⁰²⁰ -  2²⁰¹⁹ - ...- 2²  -  2 - 1

=>P = 2²⁰²¹-1 

Ta có :

Q = 2020^p 

=> \(Q=2020^{2^{2021}-1}\)

Ta có :

2²⁰²⁰ - 2²⁰¹⁹ = 2²⁰¹⁹

2²⁰¹⁹ - 2²⁰¹⁸ = 2²⁰¹⁸

2²⁰¹⁸ - 2²⁰¹⁷ = 2²⁰¹⁷

..................

2³ - 2² = 2²

2² - 2 = 2

2 - 1 = 1

=> P = 1

=> Q = 2020¹ = 2020

P = 2²⁰²⁰ - 2²⁰¹⁹ -.......- 2² - 2 - 1

P =  2²⁰²⁰ - (2²⁰¹⁹ +.......+ 2² + 2+ 1)

Đặt A = 2²⁰¹⁹ + .......+ 2² + 2 + 1

2A = 2²⁰²⁰ + 2²⁰¹⁹ + .......+ 2² + 2

2A - A = A = 2²⁰²⁰ - 1

Thay A vào P ta được

P = 2²⁰²⁰ - (2²⁰²⁰ - 1)

P = 2²⁰²⁰ - 2²⁰²⁰ + 1

P = 1

=> Q = 2020¹ = 2020

a/ \(\overline{ab}=10.a+b=3.a.b\Rightarrow a\ne0;b\ne0\)

\(3.a.b⋮a\Rightarrow10.a+b⋮a\) mà \(10.a⋮a\Rightarrow b⋮a\)

b/ \(\overline{ab}=10.a+k.a=3.a.k.a\Rightarrow10+k=3.k.a\Rightarrow10=\left(3.a-1\right).k\)

\(\Rightarrow k=\frac{10}{3.a-1}\) k nguyên \(\Rightarrow3.a-1=\left\{1;2;5;10\right\}\Rightarrow a=\left\{1;2\right\}\)

với a=1 => k=5; với a=2 => k=2 \(\Rightarrow10⋮k\)

c/ 

\(3.a.b⋮3\Rightarrow\overline{ab}⋮3\) kết hợp với kết quả của câu a là \(b⋮a\) và kết quả của câu b là \(a=\left\{1;2\right\}\) 

\(\Rightarrow\overline{ab}=\left\{12;15;18;24\right\}\)

Thử 

\(\overline{ab}=12\) thử 3.1.2=6 loại

\(\overline{ab}=15\) thử 3.1.5=15 chọn

\(\overline{ab}=18\Rightarrow k=8:1=8\) => 10 không chia hết cho k => loại

\(\overline{ab}=24\) thử 3.2.4=24 chọn

\(\Rightarrow\overline{ab}=\left\{15;24\right\}\)

60 = 2² . 3 . 5

62 = 2 . 31

=> BCNN (60,62) = 2² . 3 . 5 . 31 = 31 . 60

=> Sau : 31 . 60 : 60 = 31 phút nữa cả hai máy cùng đổ chuông

Khi đó, thời gian là : 10 giờ + 31 phút = 10 giờ 31 phút