Ta có : \(\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ac\sqrt{b-4}}{abc}=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : 

\(\frac{\sqrt{c-2}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{\sqrt{2}c}\le\frac{2+c-2}{2\sqrt{2}c}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\frac{\sqrt{a-3}}{a}=\frac{\sqrt{3\left(a-3\right)}}{\sqrt{3}a}\le\frac{3+a-3}{2\sqrt{3}a}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\frac{\sqrt{b-4}}{b}=\frac{\sqrt{4\left(b-4\right)}}{2b}\le\frac{4+b-4}{4b}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c-2=2\\b-4=4\\a-3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}c=4\\b=8\\a=6\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=8\\c=4\end{cases}}\)

phá ra nha

sau đó bạn lm theo tek này 

\(\frac{\sqrt{c-2}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{\sqrt{2}c}\le\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{2}c}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

mấy cái kia tt nha

tanBtanC là gì vậy

là tanB nhân tanC đó

Công thức nghiệm Vi-et

Ta giải

\(ax2+b3\cdot a2c=0,1\)

Ta có theo Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2_2+x_2=-\frac{b}{a}\\x^3_2=\frac{c}{a}\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2_2+x_2}{x_2^3}=-\frac{b}{c}=\frac{x_2+1}{x_2^2}}\)

Lại có \(\frac{b^3+a^2c+ac^2}{abc}=\frac{b^2}{ac}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\left(x_2^2+x_2\right)\frac{x_2+1}{x_2^2}-\frac{1}{x_2^2+x_2}-\frac{x_2^2}{x_2+1}\)

\(=\frac{x_2\left(x_2+1\right)^2}{x_2^2}-\frac{1}{x_2^2+x_2}-\frac{x_2^2}{x_2+1}=\frac{\left(x_2+1\right)^2}{x_2}-\frac{1}{x_2\left(x_2+1\right)}-\frac{x_2^2}{x_2+1}\)

\(=\frac{\left(x_2^2+2x_2+1\right)\left(x_2+1\right)-1-x_2^3}{x_2\left(x_2+1\right)}=\frac{x_2^3+3x_2^2+3x_2+1-1-x_2^3}{x_2^2+x_2}\)

\(=\frac{3\left(x_2^2+x_2\right)}{x_2^2+x_2}=3\)

Từ đó suy ra \(b^3+a^2c+ac^2=3abc\left(đpcm\right).\)

Ta có dễ thấy x lẻ nên suy ra x²−3≡6(mod 8) x 2−3≡6(mod 8) 
x lẻ nên x²−3≡2(mod 4) x 2−3≡2(mod 4) do đó 2y²≡2(mod 4)⇔y2y²≡2(mod 4)⇔y là số lẻ 
Do đó 2y²+8z≡2(mod 8) 2y²+8z≡2(mod 8) (vô lí) 
Vậy ta có đpcm 

Mình trình bày lại theo hướng đồng dư khi chia cho 8 của bạn Carthrine.

\(\Leftrightarrow x^2-3=2\left(y^2-4y\right)\)(1)

=> x lẻ. => x chia 4 dư 1 hoặc 3.

• Nếu x chia 4 dư 1 thì: x = 4k + 1 => \(x^2=16k^2+8k+1\)=> x² chia 8 dư 1.
• Nếu x chia 4 dư 3 thì: x = 4k + 3 => \(x^2=16k^2+24k+9\)=> x² chia 8 dư 1.

=> x² chia 8 dư 1 với mọi x lẻ.

=> x² - 3 chia 8 dư 6 => x² - 3 = 8m + 6

Từ (1) => 8m + 6 = 2y² - 8y <=> 4m + 3 = y² - 4y

=> y² = 4m + 4y + 3

=> y² chia 4 dư 3 - Vô lý vì với y nguyên thì số chính phương y² không thể có dạng 4n + 3.

Do đó, PT đã cho không có nghiệm x;y nguyên.

• x = 0 thì PT:  0! + y! = y! <=> 1 = 0 vô lý. nên x và y phải khác 0.
• Nếu x = y thì PT <=> 2*x! = (2x)! => (x+1)*(x+2)*...(2x) = 2 => x =1 => y = 1.
• Với x;y khác nhau và khác 0; khác 1 ; x;y có vai trò tương đương nên giả sử \(1< x< y\)thì:

\(x!+y!< 2\times y!\le\left(y+1\right)\times y!=\left(y+1\right)!< \left(x+y\right)!\)=> PT vô nghiệm.

Kết luận: PT có nghiệm nguyên duy nhất : x = 1; y = 1

Nếu x = 0 thì PT : 0! + y! = y! \(\Leftrightarrow\)1 = 0 . Điều này vô lý nên x và y phải khác 0 .

\(.\)Nếu x = y thì PT  \(\Leftrightarrow\)\(2.x!\)= (2x)! \(\Rightarrow\)( x + 1 ) . ( x + 2 ) . ..... . ( 2x ) = 2 \(\Rightarrow\)x = 1 \(\Rightarrow\)y = 1 

\(.\)Nếu x và y khác nhau và khác 0 ; 1 ; x và y có vai trò tương đương nên giả sử \(1< x< y\)thì : 

\(x!+y!< 2.y!\le\left(y+1\right).y!=\left(y+1\right)!< \left(x+y\right)!\Rightarrow\)PT vô nghiệm . 

Kết luận : PT có nghiệm nguyên duy nhất : \(x=1;y=1\)

ta có: \(4x^2+9x+18\sqrt{x}+9=4x^2+9\left(\sqrt{x}+1\right)^2\),\(4x\sqrt{x}+4x=4x\left(\sqrt{x}+1\right)\)
Đặt \(a=x,b=\sqrt{x}+1\)ta có:
\(A=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}+\frac{4ab}{4a^2+9b^2}=t+\frac{1}{t},t=\frac{4a^2+9b^2}{4ab}\)
có \(\frac{4a^2+9b^2}{4ab}=t\Rightarrow4a^2-t.4ab+9b^2=0\Leftrightarrow4.\left(\frac{a}{b}\right)^2-4t.\frac{a}{b}+9=0,\)do a khác 0.
Đặt \(\frac{a}{b}=y\Rightarrow4y^2-t.4y+9=0\), \(\Delta=16t^2-36\ge0\Leftrightarrow t\ge\frac{3}{2}\left(t>0\right)\)
xét \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\left(t\ge\frac{3}{2}\right)\)
lấy \(\frac{3}{2}< t_1< t_2\)
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(\frac{t_1.t_2-1}{t_1.t_2}\right)< 0\)
suy ra với t càng tăng thì f(t) càng lớn vậy min \(f\left(t\right)=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{13}{6}\)
các em tự tìm x nhé.

bài này bạn áp dụng BĐT cô si cko 2 số dương là đc.

đáp án: Min A=  2

1./ Với mọi n thuộc N* thì: (1):\(\sqrt{n}+2>\sqrt{n}-2\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt{n}+2}>\sqrt[3]{\sqrt{n}-2}\Rightarrow A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}>0\forall n\in N\cdot\)

2./ \(A^3=2+\sqrt{n}+2-\sqrt{n}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{n}\right)\left(2+\sqrt{n}\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)

\(A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}\cdot A\)(2)

Do A thuộc N* mà A khác 0 (từ (1)) nên từ (2): \(\sqrt[3]{4-n}=\frac{A^3-4}{3A}\)là 1 số hữu tỷ. Hay: \(\sqrt[3]{4-n}=m\left(m\in Q\right)\Rightarrow n=4-m^3\).(Do n >=0 thuộc n => \(m\le\sqrt[3]{4}\); m thuộc Z) (*)

(2) trở thành: \(A^3-3m\cdot A-4=0\)(3)

Để (3) có nghiệm A tự nhiên thì A phải là ước tự nhiên của hệ số tự do ( -4). => A = 1; 2; 4.

• A = 1 => m = -1 ( TM (*) ) => n = 4 - (-1)³ = 5
• A = 2 => m = 8/6 không thuộc Z. Loại
• A = 4 => m = 5 ( không TM (*) ). Loại

Vậy, chỉ có duy nhất n = 5 (Thuộc N*) thì A = 1 thuộc N*.

\(A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\)

=>A³\(=4+3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{n}\right).\left(2-\sqrt{n}\right)}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)

\(\Leftrightarrow A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}.A\)

<=>\(\frac{A^3-4}{A}=3\sqrt[3]{4-n}\)

<=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3=27.\left(4-n\right)\)(1)

Vì n thuộc N* nên: 27.(4-n) thuộc Z

=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3\)thuộc Z

=> \(A^3-\frac{4}{A}\)thuộc Z

=>A thuộc Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}

Mà A thuộc N* nên: A=1;2;4

Với A=1 => PT(1) trở thành: -27=27.(4-n) =>n=5 (nhận)

Với A=2 =>PT(1) trở thành: 8=27.(4-n) =>n=100/27 (loại)

Với A=4 => PT(1) trở thành: 3375=27.(4-n) =>n=-121 (loại)

Vậy n=5

ta có A+B+C = 2

nên C=2 -(A+B)

   nên ta có sin(A+B)=sinC , cos(A+B)=-cosC

ta có sin2A+sin2B+sin2C

      =2sin(A+B)cos(A-B) + 2 sinCcosC

      =2sinCcos(A-B)+2sinCcosC

      =2sinC ( cos(A-B) + cosC)

      =2sinC ( cos(A-B) - cos(A+B))

      =2sinC.2sinAsinB

      =4sinAsinBsinC

Em chịu ạ

sorry rất nhìu

d là ước dương của a và b suy ra: \(\hept{\begin{cases}a=d.a^'\\b=d.b^'\end{cases}}\)
có \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\)nguyên dương suy ra \(\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\)nguyên dương\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho a.b
có \(a.b=d.a^'.d.b^'=a^'.b^'d^2\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho \(d^2\)
ta có: \(a^2+b^2+a+b=d^2.\left(a^'\right)^2+d^2\left(b^'\right)^2+d.a^'+d.b^'\)
                                          \(=d\left(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'\right)\)chia hết cho \(d^2\)
suy ra \(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'=d\left(a^'+b^'\right)+a^'+b^'\)chia hết cho d \(\Rightarrow a^'+b^'\)chia hết cho d.\(\Rightarrow a^'+b^'\ge d\Leftrightarrow d.a^'+d.b^'\ge d^2\Leftrightarrow a+b\ge d^2\Leftrightarrow d\le\sqrt{a+b}\)