bài này hình như có trong sách Nâng cao phát triển toán 8?

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

101

cho hỏi có đc dung cân ko?

5(a+2007)³ + 15 (a+ 2007)² + 10(a+2007)

=5(a+2007)³ + 5 (a+ 2007)² + 10(a+ 2007)² + 10(a+2007) = 5(a+2007)² [ (a+ 2007) +1] +10(a+2007) [(a+2007) + 1]

=5(a+2007)² (a+ 2008) +10(a+2007)(a+2008) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2007 +2) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2009)

nhận xét : tích trên chia hết cho 5

và  a+2007; a+2008 ; a+2009 là các số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6

=> 5(a+2007)(a+2008) (a+2009) chia hết cho BCNN(5;6) = 30 => đpcm

vì a+b+c = 2008 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2008 => 1/a + 1/ b + 1/c = 1/ (a+b+c)

\(\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\left(bc+ac+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

=>(a+b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0

=> abc + a(ac+ab) + (b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0

=> a²(b+c) +  (b+c)(bc+ac+ab) = 0 => (b+c)(a² + bc + ac + ab) = 0 => (b+c)[a(a+c) + b(a+c)] = 0 

=> (b+c)(a+b)(a+c) = 0 => b+c = 0 hoặc a+b = 0 hoặc a+c = 0

Nếu b+c = 0 => a = 2008

nếu a+ b = 0 => c = 2008

Nếu a+c = 0 => b = 2008

Vậy....

Trần Thị Loan : tại sao a+b+c = 2008  và 1/a+1/b+1/c = 1/2008 lại => 1/z+1/v+1/c = 1/(a+b+c) ????

A=a^3/24+a^2/8+a/12 
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24 
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D 
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z) 
TH1: a=4k; a+2=4k+2 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z) 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên 

1) Đặt a=2k vì a chẵn 
=>A = k^3/3+k^2/2+k/6 = (2k^3+3k^2+k)/6 
= (2(k-1)k(k+1) + 3k(k+1))/6 
=(k-1)k(k+1)/3 + k(k+1)/2 
(k-1)k(k+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 =>(k-1)k(k+1)/3 nguyên 
k(k+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 =>k(k+1)/2 nguyên 
=>A nguyên

Dễ thấy (\(\frac{3}{4}\)-81); (\(\frac{3^2}{5}\)-81); (\(\frac{3^3}{6}\)-81);... (\(\frac{3^{2007}}{2010}\)-81) có dạng (\(\frac{3^x}{3+x}\)-81) và x\(\varepsilon\){1;2;3;...2007}.

Nếu x=6 thì \(\frac{3^x}{3+x}\)-81=\(\frac{3^6}{3+6}\)-81=0

=>  (\(\frac{3}{4}\)-81) (\(\frac{3}{4}\)-81)(\(\frac{3^3}{6}\)-81)...​(\(\frac{3^6}{3+6}\)-81)...(\(\frac{3^{2007}}{2010}\)-81)=0

Mà |x-30|-6001=(\(\frac{3}{4}\)-81) (\(\frac{3}{4}\)-81)(\(\frac{3^3}{6}\)-81)...​(\(\frac{3^6}{3+6}\)-81)...(\(\frac{3^{2007}}{2010}\)-81)

=>|x-30|-6001=0

=>|x-30|=6001

=>x-30=6001 hoặc x-30=-6001

=>x=6031 hoặc x=-5971

-------------------The end----------------

\(\text{|x - 30| - 6001 = }\left(\frac{3}{4}-81\right)\left(\frac{3^2}{5}-81\right)\left(\frac{3^3}{6}-81\right)...\left(\frac{3^{2007}}{2010}-81\right)\)

\(\Rightarrow\text{ |x - 30| - 6001 = }\left(\frac{3}{4}-81\right)\left(\frac{3^2}{5}-81\right)\left(\frac{3^3}{6}-81\right)...\left(\frac{3^6}{9}-3^4\right)...\left(\frac{3^{2007}}{2010}-81\right)\)

\(\Rightarrow\left|x-30\right|- 6001 = \left(\frac{3}{4}-81\right)\left(\frac{3^2}{5}-81\right)\left(\frac{3^3}{6}-81\right)...\left(3^4-3^4\right)...\left(\frac{3^{2007}}{2010}-81\right)\)

\(\Rightarrow|x - 30| - 6001 = \left(\frac{3}{4}-81\right)\left(\frac{3^2}{5}-81\right)\left(\frac{3^3}{6}-81\right)...0...\left(\frac{3^{2007}}{2010}-81\right)\)

\(\Rightarrow\text{|x - 30| - 6001 = }0\)

\(\Rightarrow\left|x-30\right|=6001\) 

\(\Rightarrow x-30=6001\)hoặc \(x-30=-6001\)

\(\Rightarrow x=6031\)hoặc\(x=-5971\)

Vậy: x= 6031 hoặc x= -5971

(Nói thật thì mình mới lớp 7, đây có phải của lớp 8 không?)