Hình dạng của Elip. Liên hệ giữa Elip và đường tròn SVIP

3. Hình dạng của elip

Vậy $(E)$ có hai trục đối xứng là $Ox$, $Oy$ và có tâm đối xứng gốc O.

Tương tự như vậy, thay $x=0$ ta suy ra $(E)$ cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1(0;-b)$ và $B_2(0;b)$.

Các điểm $A_1,A_2,B_1$ và $B_2$ gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1B_2$ gọi là trục nhỏ của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

a) Từ hệ thức $b^2 = a^2 - c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì $b$ càng gần bằng $a$, tức là trục nhỏ của elip gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

b) Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 = a^2$.

Với mỗi điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn ta xét điểm $M'(x'y')$ sao cho:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x\\y'=\dfrac{b}{a}y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\y'^2=\left(\dfrac{b}{a}y\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'^2=x^2\\\dfrac{y'^2}{b^2}=\dfrac{y^2}{a^2}\end{matrix}\right.\).

Khi đó $x^2 + y^2 = a^2 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Tập hợp các điểm có tọa độ $M'(x'y')$ là đường elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{x'^2}{a^2} + \dfrac{y'^2}{b^2} = 1$.

Khi đó ta nói đường tròn $(C)$ được co thành elip $(E)$.