Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác SVIP

Đoạn thẳng nào dưới đây là đường trung tuyến của tam giác ABC?

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của những tam giác nào?

Dựa vào hình vẽ, điền số thích hợp vào ô trống.

$\dfrac{FG}{FB} =$ ; $\dfrac{GB}{FB} =$ ;

$\dfrac{AM}{AG} =$ ; $\dfrac{AM}{GM} =$ .

Tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác. Vẽ điểm $D$ sao cho $G$ là trung điểm của $AD$. Khi đó

Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $D$ sao cho $BD = BA$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = \dfrac13BC$. Gọi $K$ là giao điểm của $AE$ và $CD$.

Sắp xếp các dòng sau một cách hợp lí để hoàn thiện chứng minh $CK = KD$.

• Điểm $E$ thuộc đoạn $CB$ và $CE = \dfrac23CB$ nên $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$.
• Xét $\Delta ACD$, ta có $CB$ là đường trung tuyến.
• Do đó, $AK$ là đường trung tuyến của $\Delta ACD$, vậy $CK = KD$.

Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BD$, $CE$ bằng nhau. Chứng minh tam giác đó là tam giác cân.

Sắp xếp các dòng sau một cách hợp lí để hoàn thành lời giải:

• Gọi $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.
• Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cân.
• Do đó $\Delta BGE = \Delta CGD$ (c.g.c), suy ra $BE = CD$.
• Mà $BE=\dfrac{1}{2}AB$; $CD=\dfrac{1}{2}AC$ nên $AB = AC$.
• Ta có: $EG=\dfrac{1}{3}CE;$ $DG=\dfrac{1}{3}BD \Rightarrow EG=DG.$
  và $CG=\dfrac{2}{3}CE;$ $BG=\dfrac{2}{3}BD \Rightarrow CG=BG.$

Tam giác $ABC$ có $BC = 10$ cm, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$.

Sắp xếp các dòng sau một cách hợp lí để hoàn thành chứng minh rằng $BD + CE > 15$ cm.

• Gọi $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Theo bất đẳng thức trong tam giác $GBC$:
• $BD + CE > \dfrac{3}{2}.10$ cm $= 15$ cm.
• $GB + GC > BC = 10$ cm.
• $\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > 10$ cm.

Quan sát hình vẽ và hoàn thành các khẳng định sau:

a) Đoạn thẳng BN là đường trung tuyến của tam giác .

b) Đoạn thẳng AD là đường trung tuyến của tam giác và tam giác B.

c) Đoạn thẳng là đường trung tuyến của tam giác EAD.

d) Điểm là trọng tâm của tam giác ABC.