Mệnh đề SVIP

1. MỆNH ĐỀ

Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu nói, khẳng định có tính đúng hoặc sai. Những câu không xác định được tính đúng, sai không phải là mệnh đề.

Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

 Chú ý. Sử dụng các chữ cái $P,\, Q,\, R,…$ để biểu thị các mệnh đề.

Ví dụ 1.

$P$: "$3$ là số nguyên tố" là một mệnh đề đúng.

$Q$: "Tháng 2 dương lịch có 30 ngày" là một mệnh đề sai.

$R$: "Đây là cách xử lí khôn ngoan!" không phải mệnh đề.

 Chú ý. Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

2. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Một câu chưa khẳng định được tính đúng, sai nhưng khi thay một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta được một mệnh đề, những câu như vậy được gọi là một mệnh đề chứa biến.

Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.

Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến $n$ là $P(n)$; mệnh đề chứa biến $x,\,y$ là $P(x,\,y)$;...

Ví dụ 2. "$n$ là số chẵn" (với $n$ là số tự nhiên) là một mệnh đề chứa biến.

+ Với $n=1$ ta được mệnh đề "$1$ là số chẵn". Đây là mệnh đề sai.

+ Với $n=2$ ta được mệnh đề "$2$ là số chẵn". Đây là mệnh đề đúng.

3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Để phủ định một mệnh đề $P$, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}$.

Mỗi mệnh đề $P$ có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\overline{P}$.

Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

Ví dụ 3. Cho mệnh đề $Q$: "$4$ là số nguyên tố" thì mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q$ là $\overline{Q}$: "$4$ không phải là số nguyên tố". Mệnh đề $Q$ sai, mệnh đề $\overline{Q}$ đúng.

4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Nhận xét. 

+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ còn được phát biểu là "$P$ kéo theo $Q$" hay "Từ $P$ suy ra $Q$".

+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$, ta chỉ cần xét trường hợp $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì mệnh đề đúng, nếu $Q$ sai thì mệnh đề sai.

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng $P \Rightarrow Q$, khi đó ta nói:

$P$ là giả thiết của định lí, $Q$ là kết luận của định lí;

$P$ là điều kiện đủ để có $Q$;

$Q$ là điều kiện cần để có $P$.

5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

MỆNH ĐỀ ĐẢO

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

 Chú ý. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ 4. Với mỗi thực $x$ xét các mệnh đề $P$: "$x^2 = 1$" và $Q$: "$x=1$".

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$  và mệnh đề đảo của nó.

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$.

Giải

a) $P \Rightarrow Q$ "Nếu $x^2 = 1$ thì $x = 1$".

Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $x = 1$ thì $x^2 = 1$."

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai, mệnh đề $Q \Rightarrow P$ đúng.

HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG 

Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đề đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$ (đọc là $P$ tương đương $Q$ hoặc $P$ khi và chỉ khi $Q$).

Khi đó, ta cũng nói $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ (hay $Q$ là điều kiện cần và đủ để có $P$).

Nhận xét. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ 5. Mệnh đề "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nếu và chỉ nếu $AB^2 + AC^2 = BC^2$" là một mệnh đề tương đương và là một mệnh đề đúng.

5. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÍ HIỆU $\forall $ ; $\exists $ 

Kí hiệu $\forall $ đọc là "với mọi".

Kí hiệu $\exists $ đọc là "tồn tại".

Ví dụ 6.

Mệnh đề $P$: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1" được viết là $P$: "$\forall x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".

Mệnh đề $Q$: "Có một số thực có bình phương khác 1" được viết là $Q$: "$\exists x\in \mathbb{R},\, x^2\ne 1$".

❏ Mệnh đề ''$\forall x \in M,\,P(x)$'' đúng nếu với mọi $x_0 \in M,\, P(x_0)$ là mệnh đề đúng.

❏ Mệnh đề "$\exists x \in M,\,P(x)$" đúng nếu có $x_0 \in M$ sao cho $P(x_0)$ là mệnh đề đúng.

Ví dụ 7. Mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R},\,x^2 +2x+2 >0$" là mệnh đề đúng.

Vì $x^2 +2x+2 = (x^2 +2x+1)+1 =(x+1)^2+1 > 0$ với mọi số thực $x$.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là "$\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 +2x+2 \le 0$".