Bất phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. Khái niệm về bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng tổng quát là

 \(ax+by\le c\)  (1)

\(\left(ax+by< c;ax+by\ge c;ax+by>c\right)\)

trong đó \(a;b;c\) là những số thực đã cho; \(a\)và không đồng thời bằng $0$; \(x;y\) là các ẩn số.

Ví dụ: 

\(2x-y\le3\); \(-7x+5y>2\); \(-\dfrac{1}{2}x-5y \geq -14\) là những bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x;y$.

2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ 3x+y <0$, khi $x=-3; y=0$ thì vế trái bất phương trình có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, ta nói bộ hai số $(x;y)=(-3;0)$ là một nghiệm của bất phương trình này.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

+ Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $ax+by=c$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by \leq c$, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by \geq c$.

Từ đó ta có quy tắc thực hành Biểu diễn hình học tập nghiệm (hay Biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình $ax+by \leq c$ (tương tự cho bất phương trình $ax+by \geq c$) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ đường thằng \(\Delta\): $ax+by=c$.

Bước 2: Lấy một điểm $M_0(x_0;y_0)$ không thuộc \(\Delta\) (ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh $ax_0+by_0$  với $c$.

Bước 4: Kết luận:

- Nếu $ax_0+by_0<c$ thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta\) chứa $M_0$ là miền nghiệm của $ax_0+by_0\leq c$.

- Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta\) không chứa $M_0$ là miền nghiệm của $ax_0+by_0\leq c$.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0\leq c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0<c$.

Ví dụ:  Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $2x+y \leq 3$.

Giải:

Vẽ đường thẳng \(\Delta\): $2x+y=3$.

Lấy gốc tọa độ $O(0;0)$; ta thấy $ 0$ ∉\(\Delta\) và có $2.0+0 \geq 3$ nên nửa mặt phẳng bờ \(\Delta\) chứa gốc tọa độ $O$ là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô xanh trong hình trên)

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

​Xem video này để hiểu rõ hơn cách biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ấn  gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y\le6\\x+y\le4\\x\ge0\\y\ge0.\end{matrix}\right.\)

Giải: Vẽ các đường thẳng:

$(d_1): 3x+y=6$

$(d_2): x+y=4$

$(d_3): x=0$ (trục tung)

$(d_4): y=0$ (trục hoành).

Vì điểm $M_0(1;1)$ có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $(d_1),(d_2),(d_3),(d_4)$ không chứa điểm $M_0$. Miền không bị tô đậm (hình tứ giác $OCIA$ kể cả bốn cạnh $AI, IC, CO, OA$), trong hình vẽ sau là miền nghiệm của hệ đã cho.

4. Áp dụng vào bài toán kinh tế

Giải một số bài toán kinh tế (tối đa hóa tiền lãi, tối thiểu hóa nguyên vật liệu và sức lao động...) thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là "Quy hoạch tuyến tính".

​Xem video này để hiểu rõ hơn về giải bài toán kinh tế bằng cách lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.