Giới hạn của hàm số (Cơ bản) SVIP

Trên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=x+2$, ta di chuyển điểm $\left(-1;1\right)$ trên đường thẳng $d:y=x+2$ đến rất gần điểm có hoành độ $x=2$, khi đó $y$ dần tới $4$.

Tương tự, di chuyển điểm $\left(3;5\right)$ trên đường thẳng $d$ đến rất gần điểm có hoành độ $x=2$, khi đó $y$ dần tới $4$.

Thật vậy, xét hàm số $g\left(x\right)=\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}$ hay $g\left(x\right)=x+2,\forall x\ne2$.

Cũng giống như $f\left(x\right)$, giới hạn của $g\left(x\right)$ khi $x$ dần tới $2$ là $4$. Lý do là khi $x$ tới rất gần $2$ (chưa chạm đến $2$) thì $g\left(x\right)$ vẫn tiến tới rất gần $4$, nhưng giá trị $g\left(2\right)$ lại không xác định!

Quan sát hình bên, đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x+2$, ta thấy theo chiều tăng dần của hoành độ $x$ đến $2$ (mũi tên hướng sang phải) thì $y$ tiến dần đến $4$, ta nói $4$ là giới hạn trái của $f\left(x\right)$  khi $x\rightarrow2$ hay $\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=4$.

Theo chiều giảm dần của $x$ đến $2$ (mũi tên hướng sang trái) thì $y$ cũng tiến dần đến $4$, ta nói $4$ là giới hạn phải của $f\left(x\right)$  khi $x\rightarrow2$ hay $\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=4$.

 $\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=4\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=4.$

Quan sát đồ thị hàm số $h\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x+3,\forall x\ge2\\x+1,\forall x< 2\end{matrix}\right.$, ta được $\lim\limits_{x\rightarrow2^-}h\left(x\right)=3$ và $\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=5$.

 $\lim\limits_{x\rightarrow2^-}h\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow2^+}h\left(x\right)\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2}h\left(x\right)$ không tồn tại.