Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\). Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
• Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm \(\left(x_0;y_0\right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ. Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\le10\\2x-y>3\end{matrix}\right.\) là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) và cặp số \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta thực hiện như sau:

- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

- Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình. 

Ví dụ. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y< 0\\x+3y>-2\end{matrix}\right.\) trên mặt phẳng tọa độ.

Giải

Xác định miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x-2y< 0\) và gạch bỏ miền còn lại.

- Vẽ đường thẳng \(d_1:x-2y=0\).

- Xét điểm \(M\left(0;1\right)\) có \(1.0-2.1=-2< 0\) nên tọa độ điểm \(M\left(0;1\right)\) nằm trong miền nghiệm \(D_1\).

Do đó miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x-2y< 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) chứa điểm \(M\left(0;1\right)\).

Tương tự miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(x+3y>-2\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_2\) chứa điểm \(M\left(0;1\right)\).

Khi đó miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không bị gạch trong hình vẽ sau:

Chú ý. Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=ax+by\) trên một miền đa giác

Nhận xét. Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức \(F\left(x;y\right)=ax+by\), với \(\left(x;y\right)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \(A_1A_2...A_n\), tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left(x;y\right)=x-y\) thỏa mãn điều kiện\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\0\le y\le4\\x-y-1\le0\\x+2y-10\le0\end{matrix}\right.\).

Giải

Ta xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là ngũ giác \(ABCOE\) với \(A\left(4;3\right);B\left(2;4\right);C\left(0;4\right);E\left(1;0\right)\) như hình vẽ:

 Biểu thức \(F\left(x;y\right)=x-y\) nhận giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh \(A;B;C;O;E\). Ta có:

\(F\left(4;3\right)=1\);\(F\left(2;4\right)=-2;F\left(0;4\right)=-4;F\left(0;0\right)=0;F\left(1;0\right)=1.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(F\left(x;y\right)=x-y\) thỏa mãn điều kiện là \(-4\) khi \(x=0;y=4\).