Giải bất phương trình bậc hai một ẩn SVIP

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 

• Bất phương trình bậc hai ẩn \(x\) là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(ax^2+bx+c>0\);\(ax^2+bx+c\ge0;ax^2+bx+c< 0;ax^2+bx+c\le0\)trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho và \(a\ne0.\)
• Nghiệm của  bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến \(x\) mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.

Ví dụ. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn thì \(x=1;x=-2\) có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) \(-2x^4+x-1\le0\);

b) \(3x^2-7x+2\ge0\).

Giải

a) \(-2x^4+x-1\le0\) không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) \(3x^2-7x+2\ge0\) là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì \(3.1^2-7.1+2=-2< 0\) nên \(x=1\) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Vì \(3.\left(-2\right)^2-7.\left(-2\right)+2=28>0\) nên \(x=-2\) là một nghiệm của bất phương trình trên.

2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.

Chú ý. Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ. Giải các bất phương trình sau:

a) \(2x^2-5x+3\ge0\);                                                   b) \(-x^2+3x-7>0\);

Giải

a) Tam thức \(f\left(x\right)=2x^2-5x+3\) có \(\Delta=1>0\) và \(a=2>0\) và có hai nghiệm phân biệt \(x_1=1;x_2=\dfrac{3}{2}\) do đó \(f\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right)\), \(f\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in\left(1;\dfrac{3}{2}\right)\)  và \(f\left(x\right)=0\) với \(x\in\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x^2-5x+3\ge0\) là \(S=(-\infty;1]\cup[\dfrac{3}{2};+\infty)\).

b) Tam thức \(g\left(x\right)=-x^2+3x-7\) có \(\Delta'=-17< 0\), hệ số \(a=-1< 0\) nên \(g\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\inℝ.\) Suy ra bất phương trình \(-x^2+3x-7>0\) vô nghiệm.