Nội dung đề thi (120 phút) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Vì $x$ không âm nên $\sqrt{x}=2 \Leftrightarrow x=2^{2}=4$
b) $A=\sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+\sqrt{5}$
$
\begin{aligned}
&A=\sqrt{2^{2} \cdot 5}-\sqrt{3^{2} \cdot 5}+\sqrt{5} \\
&A=2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
&A=0
\end{aligned}
$
c)
$
\begin{aligned}
&P=\dfrac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \\
&P=\dfrac{(\sqrt{x})^{3}+(\sqrt{y})^{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(x-2 \sqrt{x} \sqrt{y}+y) \\
&P=\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\left(\sqrt{x}^{2}-\sqrt{x} \sqrt{y}+\sqrt{y}^{2}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-x+2 \sqrt{x} \sqrt{y}-y \\
&P=x-\sqrt{x} \sqrt{y}+y-x+2 \sqrt{x} \sqrt{y}-y \\
&P=\sqrt{x y}
\end{aligned}
$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}3 x+y=1 \\ x-2 y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x+y=1 \\ x=2 y+5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3(2 y+5)+y=1 \\ x=2 y+5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6 y+15+y=1 \\ x=2 y+5\end{array}\right.\right.\right.\right.$
$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ 7 y = - 1 4 } \\
{ x = 2 y + 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
y=-2 \\
x=2 \cdot(-2)+5=1
\end{array}\right.\right.
$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(1 ;-2)$
b) Vì $(d) / /\left(d^{\prime}\right) \Rightarrow a=2, b \neq-1$
$
\Rightarrow(d): y=2 x+b
$
Vì $(d)$ qua điểm $M(2 ;-3)$ nên ta có: $-3=2.2+b \Leftrightarrow b=-7$ $\Rightarrow(d): y=2 x-7$

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ là số tấm chắn bảo hộ làm trong 1 ngày theo kế hoạch $\left(x \in \mathbb{N}^{*}, x<20000\right)$
Số ngày làm tấm chắn xong theo kế hoạch là: $\dfrac{20000}{x}$ (ngày)
Số tấm chắn làm được thực tế trong 1 ngày là: $x+300$ (tấm)
Số ngày làm thực tế là: $\dfrac{20000}{x}-1$ (ngày)
Số tấm chắn làm được thực tế là: $(x+300) \cdot\left(\dfrac{20000}{x}-1\right)$
Theo đề ra ta có phương trình:
$
\begin{aligned}
&(x+300) \cdot\left(\dfrac{20000}{x}-1\right)=20000+700 \\
&\Leftrightarrow 20000-x+\dfrac{600000}{x}-300=20700 \\
&\Leftrightarrow-x-1000+\dfrac{600000}{x}=0 \\
&\Leftrightarrow-x^{2}-1000 x+600000=0 \\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=2000 & (N) \\
x=-3000 & (L)
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Vậy theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày công ty $\mathrm{A}$ cần làm 2000 tấm chắn bảo hộ.

Hướng dẫn giải:

a) Với $m=2$, phương trình (1) trở thành: $x^{2}-3 x+2=0$.
Ta có: $a=1, b=-3, c=2 \Rightarrow a+b+c=1-3+2=0$
Suy ra phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm: $\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=2\end{array}\right.$
Vậy với $m=2$ thì phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm $x=1, x=2$.
b) Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow(-3)^{2}-4.1 . m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}$.

c) Với $m \leq \frac{9}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm
Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=3 \\ P=x_{1} \cdot x_{2}=m\end{array}\right.$
Theo đề ta có:
$
\begin{aligned}
&x_{1}^{3} x_{2}+x_{1} x_{2}^{3}-2 x_{1}^{2} x_{2}^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow x_{1} x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-2\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow x_{1} x_{2}\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]-2\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow m \cdot\left(3^{2}-2 m\right)-2 m^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow 9 m-2 m^{2}-2 m^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow-4 m^{2}+9 m-5=0
\end{aligned}
$
Ta có: $a+b+c=-4+9-5=0$
Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là $\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=\frac{5}{4}\end{array}\right.$ (thỏa)
Vậy $m=1$ và $m=\dfrac{5}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $I$ là trung điểm dây $E F \Rightarrow O I \perp E F$ Xét tứ giác $A M I O$ ta có:
$
\widehat{A M O}=\widehat{A I O}=90^{\circ}
$
Hai góc cùng nhìn cạnh $O A$
Nên $A M I O$ nội tiếp đường tròn đường kính $O A$
b) Xét $\triangle O M A$ vuông tại $M$ có $M H$ là đường cao
$\Rightarrow O M^{2}=O H . O A$
Mà $O M=O F$ (cùng bằng bán kính đường nửa đường tròn $(O)$
$\Rightarrow O F^{2}=O H . O A \Rightarrow \dfrac{O F}{O H}=\dfrac{O A}{O F}$
Xét $\triangle O F H$ và $\triangle O A F$
$\left\{\begin{array}{l}\widehat{O} \text { chung } \\ \dfrac{O F}{O A}=\dfrac{O H}{O F}\end{array} \Rightarrow \Delta O F H = \Delta O A F(c-g-c)\right.$
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $\triangle O E F$
$\Rightarrow O G=\dfrac{2}{3} O I$
Qua $G$ kẻ đường thẳng song song $A I$, đường thẳng này cắt $O A$ tại $K$ Theo định lý Ta-let ta có: $\dfrac{O K}{O A}=\dfrac{O G}{O I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow O K=\dfrac{2}{3} O A$
Mà $O A$ cố định nên $O K$ cố định
Mà $\triangle O G K$ vuông tại $G$ (vì $G K / / A I, A I \perp O I$ )
Suy ra $G$ thuộc đường tròn đường kính $O K$ khi $E$ di chuyển trên cung $M C$.

Hướng dẫn giải:

Khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy $R=10 \mathrm{~cm}$ và chiều cao $h=20 \mathrm{~cm}$ nên có thể tích là:
$$
V_{trụ}=\pi R^{2} h=\pi \cdot 10^{2} \cdot 20=2000 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)
$$
Vật dạng hình nón có bán kính đáy $R=10 \mathrm{~cm}$ và chiều cao $h^{\prime}=\dfrac{1}{2} h=10 \mathrm{~cm}$ nên có thể tích là:
$$
V_{\text {nón }}=\dfrac{1}{3} \pi R^{2} h=\dfrac{1}{3} \pi \cdot 10^{2} \cdot 10=\dfrac{1000 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) \text {. }
$$
Thể tích phần khúc gỗ còn lại là:
$$
V=V_{\text {trụ }}-V_{\text {nón }}=2000 \pi-\dfrac{1000 \pi}{3}=\dfrac{5000 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) .
$$