Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Đề tự luận SVIP
Cho bất phương trình $\left(x+1\right)\left(2-x\right)-3\sqrt{-x^{2} +x+6} +m\ge 0$, $\left(1\right)$. ($m$ là tham số)
1. Giải bất phương trình $\left(1\right)$ với $m=0.$
2. Xác định $m$ sao cho bất phương trình $\left(1\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$.
Hướng dẫn giải:
1.
Khi $m=0,$ ta có bất phương trình:
$\left(x+1\right)\left(2-x\right)-3\sqrt{-x^{2} +x+6} \ge 0\Leftrightarrow -x^{2} +x+6-3\sqrt{-x^{2} +x+6} -4\ge 0 \left(2\right)$
Đặt $t=\sqrt{-x^{2} +x+6} , t\ge 0$
Bất phương trình $\left(2\right)$ trở thành: $t^{2} -3t-4\ge 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {t\le -1} \\ &{t\ge 4} \end{aligned}\right. $, kết hợp điều kiện $t\ge 0$, ta được: $t\ge 4.$
$\sqrt{-x^{2} +x+6} \ge 4\Leftrightarrow -x^{2} +x+6\ge 16\Leftrightarrow -x^{2} +x-10\ge 0\Leftrightarrow -\left(x-\dfrac{1}{2} \right)^{2} -\dfrac{39}{4} \ge 0$ (Vô lí).
Vậy $S=\varnothing.$
2.
Bất phương trình $\left(1\right)\Leftrightarrow -x^{2} +x+2-3\sqrt{-x^{2} +x+6} +m\ge 0$
$\Leftrightarrow -x^{2} +x+6-3\sqrt{-x^{2} +x+6} +m-4\ge 0$ $\left(2\right)$
Đặt $t=\sqrt{-x^{2} +x+6} =\sqrt{\dfrac{25}{4} -\left(x-\dfrac{1}{2} \right)^{2} } $.
Khi $x\in \left[-2;3\right]\Rightarrow t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$.
Bất phương trình $\left(2\right)\Leftrightarrow t^{2} -3t+m-4\ge 0\Leftrightarrow m\ge -t^{2} +3t+4$ $\left(3\right)$
Xét hàm số $f\left(t\right)=-t^{2} +3t+4$ với $t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$
Bảng biến thiên
Bất phương trình $\left(1\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$ $\Leftrightarrow $ $\left(3\right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left[0;\dfrac{5}{2} \right]$.
$\Leftrightarrow m\ge \dfrac{25}{4} . $
Vậy, với mọi $m\ge \dfrac{25}{4} $ thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$.
1. Giải bất phương trình $\left|\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \right|\ge 1$.
2. Xác định $m$ sao cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{aligned}&{x^{2} \le -2x+3} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. $ có ngiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải:
1.
$\left|\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \right|\ge 1\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \ge 1} \\ &{\dfrac{2x^{2} -x}{3x-4} \le -1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&{\dfrac{2x^{2} -4x+4}{3x-4} \ge 0} \\ &{\dfrac{2x^{2} +2x-4}{3x-4} \le 0} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& {3x-4>0} \\ &{\dfrac{2x^{2} +2x-4}{3x-4} \le 0} \end{aligned}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&{x>\dfrac{4}{3} } \\ &{1\le x<\dfrac{4}{3} } \\ &{x\le -2} \end{aligned}\right.$ .
Tập nghiệm :$S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[1;\dfrac{4}{3} \right)\cup \left(\dfrac{4}{3} ;+\infty \right)$.
2.
Ta có: $\left\{\begin{aligned}&{x^{2} \le -2x+3} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{x^{2} +2x-3\le 0} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{-3\le x\le 1} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. $.
+ Trường hợp 1: $m=-1$
Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{0\ge -3} \end{aligned}\right. $. Hệ luôn đúng với $\forall x\in \left[-3;1\right]$.
Vậy $m=-1$ loại.
+ Trường hợp 2: $m>-1$
Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{x\ge \dfrac{2m-1}{m+1} } \end{aligned}\right. $.
Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{2m-1}{m+1} =1\Leftrightarrow 2m-1=m+1\Leftrightarrow m=2$ (nhận).
+ Trường hợp 3: $m<-1$ Hệ BPT trở thành: $\left\{\begin{aligned}& {-3\le x\le 1} \\ &{x\le \dfrac{2m-1}{m+1} } \end{aligned}\right. $.
Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{2m-1}{m+1} =-3\Leftrightarrow 2m-1=-3m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{-2}{5}$ (loại). Vậy $m=2$ hệ có nghiệm duy nhất.
1. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\sin ^{2} A+\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=2\sin A.\sin B.\cos C$.
2. Chứng minh rằng:
a. $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha $
b. $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\rm cos} {\rm 4}\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin \alpha $
Hướng dẫn giải:
1.
$\sin ^{2} A+\sin ^{2} B-\sin ^{2} C$$=\dfrac{1-\cos 2A}{2} +\dfrac{1-\cos 2B}{2} -\sin ^{2} C$
$=1-\sin ^{2} C-\dfrac{1}{2} \left(\cos 2A+\cos 2B\right)=\cos ^{2} C-\cos \left(A+B\right).\cos \left(A-B\right)$
$=-\cos C.\cos \left(A+B\right)+\cos C.\cos \left(A-B\right)=\cos C.\left[\cos \left(A-B\right)-\cos \left(A+B\right)\right]$
$=\cos C.\left[-2\sin A.\sin \left(-B\right)\right]=2\sin A.\sin B.\cos C.$
2.
a. Ta có $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{2} \sin \alpha \left[{\rm cos}\left(-2\alpha \right)-\cos \dfrac{2\pi }{3} \right]$
$=\dfrac{1}{2} \sin \alpha .\cos 2\alpha +\dfrac{1}{4} \sin \alpha $
$=\dfrac{1}{4} \left[\sin \left(-\alpha \right)+\sin 3\alpha \right]+\dfrac{1}{4} \sin \alpha =\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha .$
Vậy $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha $.
b. Ta có $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\cos} 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin 5\alpha -2\sin \alpha .\cos 4\alpha -2\sin \alpha .\cos 2\alpha $
$=\sin 5\alpha -\left(\sin 5\alpha -\sin 3\alpha \right)-\left(\sin 3\alpha -\sin \alpha \right)$
$=\sin \alpha .$
Vậy $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\cos} 4\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin \alpha $.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$, đỉnh $A\left(1 ; -2\right)$, $BD:\left\{\begin{aligned}&{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right.$, $t\in \mathbb{R}$ và $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ là hình chiếu của $A$ trên $CD$.
1. Lập phương trình các đường thẳng $CD , AB$.
2. Xác định tọa độ các đỉnh $D ,C, B$.
3. Xác định vị trí điểm $M\in BD$ sao cho $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2}$ đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải:
1.
Đường thẳng $CD$ qua điểm $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.
Nên phương trình đường thẳng $CD$ là $6\left(x-\dfrac{133}{37} \right)+y+\dfrac{58}{37} =0\Leftrightarrow 6x+y-20=0$.
Ta có đường thẳng $AB$ qua điểm $A\left(1 ; -2\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.
Nên phương trình đường thẳng $AB$ là $6\left(x-1\right)+y+2=0\Leftrightarrow 6x+y-4=0$.
2.
Vì $D$ là giao điểm của $CD$ và $BD$ nên tọa độ $D$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&{6x+y=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {t=0} \\ &{x=4} \\ &{y=-4} \end{aligned}\right. $.
Vậy tọa độ $D\left(4 ; -4\right)$.
Vì $B$ là giao điểm của $AB$ và $BD$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}& {6x+y=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{t=-4} \\ &{x=0} \\ &{y=4} \end{aligned}\right. $.
Vậy tọa độ $B\left(0 ; 4\right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BD$ thì tọa độ $I\left(2 ;0\right)$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I\left(2 ;0\right)$ là trung điểm $AC$.
Do đó tọa độ $C\left(3 ; 2\right)$.
3.
Gọi $I=AC\cap BD$.
Xét biểu thức: $P=MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2} =\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)^{2} $
$ =4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2}) +2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)$
Do $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$
Vậy $ P =4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} )$
Mà $I,A,B,C,D$ cố định nên $IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} =$ hằng số.
Từ đó $ P_{\min } \Leftrightarrow 4MI^{2}_{\min } \Leftrightarrow M\equiv I\Rightarrow M(2;0)$
Vậy với $M(2;0)$ thì $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2} $ đạt GTNN.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2x^{2} +\dfrac{5}{x+1}$, $x\ge 2$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\forall x\ge 2\Rightarrow \left(x-2\right)\left(2x+3\right)\ge 0\Leftrightarrow 2x^{2} \ge x+6$.
$y\ge x+6+\dfrac{5}{x+1} =\left(\dfrac{5}{9} \left(x+1\right)+\dfrac{5}{x+1} \right)+\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5$.
$y\ge 2\sqrt{\dfrac{5}{9} \left(x+1\right).\dfrac{5}{x+1} } +\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5=\dfrac{10}{3} +\dfrac{4}{9} \left(x+1\right)+5\ge \dfrac{10}{3} +\dfrac{4}{9} .3+5=\dfrac{29}{3} .$
Dấu bằng xảy ra khi $x=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $\dfrac{29}{3} $.