Dấu của tam thức bậc hai SVIP

1. TAM THỨC BẬC HAI

Đa thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với \(a,b,c\) là các hệ số, \(a\ne0\) và \(x\) là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) là nghiệm của tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\).

Biểu thức \(\Delta=b^2-4ac\) và \(\Delta'=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của \(f\left(x\right)\).

Ví dụ. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai đó.

a) \(f\left(x\right)=x^2-3x+1;\)

b)\(g\left(x\right)=-2x+\dfrac{5}{11};\)

c) \(h\left(x\right)=-2x^3+5x+4.\)

Giải

Biểu thức \(f\left(x\right)\) là tam thức bậc hai, biểu thức \(g\left(x\right),h\left(x\right)\) không phải là tam thức bậc hai.

Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-3x+1\) có \(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.1=5.\) Do đó \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) và \(x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\). 

2. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right),\Delta=b^2-4ac.\)

• Nếu \(\Delta< 0\) thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\inℝ.\)
• Nếu \(\Delta=0\) và \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) là nghiệm kép của \(f\left(x\right)\) thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\ne x_0.\)
• Nếu \(\Delta>0\) và \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của \(f\left(x\right)\)\(\left(x_1< x_2\right)\) thì:

\(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in\left(-\infty;x_1\right)\cup\left(x_2;+\infty\right)\);

\(f\left(x\right)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in\left(x_1;x_2\right).\)