Đa thức một biến SVIP

1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó, số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ: Biểu thức \(\dfrac{1}{2}x^3\) là một đơn thức, trong đó \(\dfrac{1}{2}\) là hệ số, số mũ \(3\) của biến \(x\) là bậc của đơn thức đó.

 Chú ý. Số \(0\) cũng được coi là một đơn thức, đơn thức này không có bậc.

Với các đơn thức một biến, ta có thể:

Cộng hay trừ hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau.

Ví dụ: Tính

a) \(3x^2-x^2\);

b) \(\left(-2x^3\right).\left(0,5x\right)\).

Giải

a) \(3x^2-x^2=\left(3-1\right)x^2=2x^2.\)

b) \(\left(-2x^3\right).\left(0,5x\right)=\left[\left(-2\right).0,5\right].\left(x^3.x\right)=\left(-1\right)x^4=-x^4.\)

2. ĐA THỨC MỘT BIẾN

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Số \(0\) cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

 Chú ý. Ta thường kí hiệu đa thức bằng các chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Ví dụ: Đa thức \(A=A\left(x\right)=3x^2-2x+5\) có ba hạng tử là \(3x^2;-2x\) và \(5.\)

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN

Đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là đa thức thu gọn.

Có thể đưa các đa thức chưa thu gọn về đa thức thu gọn.

Ví dụ: Thu gọn đa thức \(A=-2x^3-3x^2+2x^3+5x+x^2-4.\)

Giải

Ta có 

\(A=-2x^3-3x^2+2x^3+5x+x^2-4\)

\(=-2x^3+2x^3-3x^2+x^2+5x-4\)

\(=\left(-2x^3+2x^3\right)-\left(3x^2-x^2\right)+5x-4\)

\(=-2x^2+5x-4.\)

4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm của biến

Để thuận lợi cho việc tính toán, người ta thường viết đa thức một biến dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến.

Chú ý. Ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng của biến.

Ví dụ: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến\(P=x^5-3x^2+x^4-x-x^5+5x^4+x^2-1\).

Giải

Ta có

 \(P=x^5-3x^2+x^4-x-x^5+5x^4+x^2-1\)

\(P=x^5-x^5-3x^2+x^2+x^4+5x^4-x-1\)

 \(P=\left(x^5-x^5\right)-\left(3x^2-x^2\right)+\left(x^4+5x^4\right)-x-1\)

\(P=-2x^2+6x^4-x-1\)

\(P=6x^4-2x^2-x-1.\)

5. BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

Trong một đa thức thu gọn và đa thức không:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc \(0\) gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2.\)

Giải

Ta thu gọn đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2\)

\(P=\left(x^3-x^3\right)+2x^2+4x-2\)

\(P=2x^2+4x-2\)

Trong dạng thu gọn của \(P\), hạng tử có bậc cao nhất là \(2x^2\) nên bậc của \(P\) là \(2\); hệ số cao nhất là \(2\); hạng tử bậc không là \(-2\) nên hệ số tự do là \(-2.\)

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

 Nếu tại \(x=a\) đa thức \(F\left(x\right)\) có giá trị bằng \(0\), tức \(F\left(a\right)=0\) thì ta gọi \(a\) (hoặc \(x=a\)) là một nghiệm của đa thức \(F\left(x\right)\).

Ví dụ: \(x=1\) là một nghiệm của đa thức \(F\left(x\right)=2x^2-3x+1\) vì \(F\left(1\right)=2.1^2-3.1+1=0\).

Nhận xét. Nếu đa thức có hệ số tự do bằng \(0\) thì \(x=0\) là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức \(A\left(x\right)=-4x^2+3x\) có một nghiệm là \(x=0.\)