Bất đẳng thức Bunhiacopxki SVIP

Hướng dẫn giải:

1)  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                      \(\left(\frac{a}{\sqrt{\alpha}}.\sqrt{\alpha}+\frac{b}{\sqrt{\beta}}.\sqrt{\beta}+\frac{c}{\sqrt{\gamma}}.\sqrt{\gamma}\right)^2\le\left(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\right)\left(\alpha+\beta+\gamma\right)\)

                         \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\right)\left(\alpha+\beta+\gamma\right)\)

                          \(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    \(\frac{a}{\sqrt{\alpha}}:\sqrt{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{\beta}}:\sqrt{\beta}=\frac{c}{\sqrt{\gamma}}:\sqrt{\gamma}\) \(\Leftrightarrow\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)

2) Đặt    \(x=a+1,y=b+1,z=c+1\)thì  \(x,y,z>1\)và bđt cần chứng minh trở thành

                                                     \(\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge1\)  (1)

Ta có     \(\frac{x}{y+2z}=\frac{x^2}{xy+2zx}\) vì vậy vế trái (1) có thể viết thành

                                      \(\frac{x^2}{xy+2zx}+\frac{y^2}{yz+2xy}+\frac{z^2}{zx+2yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức trong câu 1) ta có

                \(\dfrac{x^2}{xy+2zx}+\dfrac{y^2}{yz+2xy}+\dfrac{z^2}{zx+2yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}\)

                                                                                       \(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)

                                                                                         \(\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{3\left(xy+yz+zx\right)}=1\)

điều phải chứng minh. Nếu đẳng thức xảy ra thì phải có 

                      \(\left(x+y+z\right)^2=3\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

                                         \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2}=0\Leftrightarrow x=y=z\)

Đảo lại, nếu \(x=y=z\) thì   \(\frac{x^2}{xy+2zx}+\frac{y^2}{yz+2xy}+\frac{z^2}{zx+2yz}=1\).

Vậy             \(\frac{a+1}{b+2c+3}+\frac{b+1}{c+2a+3}+\frac{c+1}{a+2b+3}\ge1\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

                                      \(x=y=z\Leftrightarrow a+1=b+1=c+1\Leftrightarrow a=b=c\)

Hướng dẫn giải:

Theo Bunhiacopxki ta có

                                                 \(\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+1.\sqrt{12-2x^2}\right)^2\le\left(2+1\right)\left(2x^2+12-2x^2\right)\)

    hay             \(\left(2x+\sqrt{12-2x^2}\right)^2\le36\)

                       \(2x+\sqrt{12-2x^2}\le6\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{12-2x^2}}{1}\\2x+\sqrt{12-x^2}=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{12-2x^2}=x\\2x+x=6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                                     \(\left(\sqrt{1-2y-y^2}-\left(1+y\right)\right)^2\le\left(1^2+\left(-1\right)^2\right)\left(1-2y-y^2+\left(1+y\right)^2\right)\)

                         hay                              \(\left(\sqrt{1-2y-y^2}-\left(1+y\right)\right)^2\le4\)

                                                               \(\sqrt{1-2y-y^2}-\left(1+y\right)\le2\)

   \(\sqrt{1-2y-y^2}\le y+3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1-2y-y^2}}{1}=\dfrac{\left(1+y\right)}{-1}\\\sqrt{1-2y-y^2}-\left(1+y\right)=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1-2y-y^2}=-\left(1+y\right)\\-\left(1+y\right)-\left(1+y\right)=2\end{matrix}\right.\)

   \(\Leftrightarrow y=-2\)

Hướng dẫn giải:

Theo Bunhiacopxki ta có

       \(\left(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+\left(x+\frac{1}{x}\right)\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(5-x^2+5-\frac{1}{x^2}+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\right)\)

hay                                \(\left(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}\right)^2\le36\)

                                      \(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}\le6\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5-x^2}=\sqrt{5-\dfrac{1}{x^2}}=x+\dfrac{1}{x}\\\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\dfrac{1}{x^2}}+x+\dfrac{1}{x}=6\end{matrix}\right.\)

                                                                                           \(\Leftrightarrow\sqrt{5-x^2}=\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}=x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow x=1\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(P\) là vế trái bất đẳng thức cần chứng minh. Theo Bunhiacopxki ta có

  \(\left(\frac{1}{a\sqrt{b+c}}\sqrt{b+c}+\frac{1}{b\sqrt{c+a}}\sqrt{c+a}+\frac{1}{c\sqrt{a+b}}\sqrt{a+b}\right)^2\)\(\le P.2\left(a+b+c\right)\)

Suy ra   \(P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2.\frac{1}{a+b+c}\)

                \(\ge\frac{1}{2}.3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right).\frac{1}{a+b+c}\)

                 \(=\frac{3}{2}.\frac{a+b+c}{abc}.\frac{1}{a+b+c}\)

               \(=\frac{3}{2}\) (do giả thiết  \(abc=1\))

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                                     \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)^2\le\dfrac{4}{1+xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                                   \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\right)\) 

Do đó chỉ cần chứng minh 

                            \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\le\dfrac{2}{1+xy}\)  (1)

Ta thấy      

             (1)  \(\Leftrightarrow\dfrac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\le\dfrac{2}{1+xy}\)

                     \(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\le2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x^2+y^2-2xy+2x^2y^2-x^3y-xy^3\)

                      \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(1-xy\right)\ge0\)   (2)

Mà theo giả thiết \(x,y>0\)và \(x+y\le2\) nên

                       \(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\le\dfrac{2}{2}\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\). (2) đúng 

đpcm

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Svac ta có

                                  \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{9}{x+y+y}\)

tức là                           \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{9}{x+2y}\)

Theo giả thiết ta có       \(x+2y\le3z\)    nên     \(\dfrac{9}{x+2y}\ge\dfrac{9}{3z}=\dfrac{3}{z}\).

Vì vậy                          \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{3}{z}\) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi       \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+2y=3z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)'      

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

     \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)^2\le\dfrac{4}{1+xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

                                   \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\right)\) 

Do đó chỉ cần chứng minh 

       \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\le\dfrac{2}{1+xy}\)  (1)

Ta thấy      

             (1)  \(\Leftrightarrow\dfrac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\le\dfrac{2}{1+xy}\)

                     \(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\le2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

                     \(\Leftrightarrow0\le x^2+y^2-2xy+2x^2y^2-x^3y-xy^3\)

                      \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(1-xy\right)\ge0\)   (2)

Mà theo giả thiết \(x,y>0\)và \(x+y\le2\) nên

                       \(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\le\dfrac{2}{2}\Rightarrow\sqrt{xy}\le1\). (2) đúng 

đpcm