Bài toán ứng dụng thực tế về giới hạn hàm số SVIP

Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $f(t)=\dfrac{27t+10}{t+5}, \, t>0$, trong đó $f(t)$ được tính bằng nghìn người. Tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm thứ $t_0$ kể từ năm 2000 là $v(t_0)=\underset{t\to t_0}{\mathop{\lim}}\dfrac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$ (tính bằng nghìn người/năm).

Nhà anh Đô có một hồ hình chữ nhật rộng $10$ hecta và có độ sâu trung bình $1,5$ m. Trong hồ có chứa $5 \, 000$ m$^3$ nước ngọt. Để nuôi tôm, anh Đô bơm nước biển có nồng độ muối là $30$ gam/lít vào hồ với tốc độ $10$ m$^3$/phút. Theo nghiên cứu, độ mặn (đo bằng các máy kiểm tra nước thích hợp) trong ao nuôi tôm thẻ chân trắng nằm trong khoảng từ $2 - 40$‰. Tôm sống và phát triển tốt nhất với chỉ số từ $10 - 25$‰.

Trong hồ có chứa $6 \, 000$ lít nước ngọt (có nồng độ muối xem như bằng $0$). Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là $30$ gam/lít vào hồ với tốc độ $15$ lít/phút. Biết rằng, nồng độ muối trong dung dịch được tính bằng công thức $C=\dfrac{m}{V}$.

Một bãi đỗ xe tính phí $60$ $000$ đồng cho giờ đầu tiên (hoặc một phần của giờ đầu tiên) và thêm $40$ $000$ đồng cho mỗi giờ (hoặc một phần của mỗi giờ) tiếp theo, tối đa là $200$ $000$ đồng.

Số dân của một thị trấn sau $x$ năm kể từ năm 1980 được tính bởi công thức $f(x)=\dfrac{6 \, 000x}{50+12x}$ ($f(x)$ được tính bằng nghìn người). Số dân của thị trấn đó không vượt quá bao nhiêu người?

Một nhà máy sản xuất loại bóng đèn tiết kiệm năng lượng mới. Qua nghiên cứu, người ta nhận thấy rằng tuổi thọ trung bình của một bóng đèn loại này (tính bằng giờ) có thể được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=\dfrac{10 \, 000x}{x^2+1}$. Trong đó: $f(x)$ là tuổi thọ trung bình của một bóng đèn (tính bằng giờ); $x$ là số lượng giờ sử dụng bóng đèn mỗi ngày. Khi sử dụng bóng đèn liên tục mỗi ngày, tuổi thọ trung bình của bóng đèn sẽ tiến tới bao nhiêu giờ?