Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

 $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.

Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ODP$ có:

     $OB=OD$ ( giả thiết)

     $\widehat{OBM}=\widehat{ODP}$ (so le trong)

     $\widehat{BOM}=\widehat{DOP}$ (đối đỉnh)

Vậy $\Delta OBM=\Delta ODP$ (g.c.g)

Suy ra $OM=OP$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự $\Delta OAQ=\Delta OCN$ (g.c.g) suy ra $OQ=ON$ (hai cạnh tương ứng)

$MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo $MPvuông\; gócNQ$ nên là hình thoi.

ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB = CD 

Mà AM = 1/2 AB, DN = NC = 1/2 DC $=>AM=DN=NC$

Do đó: AMCN và AMND là hình bình hành 

MN // AD (cmt)

Kết hợp với $ADvuông\; góc\; vớiAC\left(gt\right)=>MNvuông\; góc\; vớiAC$(1)

Mặt khác, AMCN là hình bình hành (2)

Từ (1) và (2), ta được AMCN là hình thoi.