a) Ta có \(A D = B C\) suy ra \(\frac{A D}{2} = \frac{B C}{2}\) nên \(M C = N D\) và \(M C\) // \(N D\)

Do đó, \(M C D N\) là hình bình hành.

Lại có \(C D = A B = \frac{A D}{2} = N D\) nên \(M C D N\) là hình thoi

b) \(B M\) // \(A D\) suy ra \(A B M D\) là hình thang.

Mà \(\hat{A D C} = 120^{\circ}\) mà \(D M\) là phân giác \(\hat{A D C}\) nên \(\hat{A D M} = 60^{\circ} = \hat{B A D}\).

Vậy \(A B M D\) là hình thang cân.

c) \(\Delta K A D\) có \(\hat{K A D} = \hat{K D A}\) nên là tam giác cân.

Xét \(\Delta M B K\) và \(\Delta M C D\) có:

     \(M B = M C\) (giả thiết)

     \(\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}\) (đối đỉnh)

     \(\hat{B_{1}} = \hat{C}\) (so le trong)

Vậy \(\Delta M B K = \Delta M C D\) (g.c.g) suy ra \(M K = M D\) (hai cạnh tương ứng).

Khi đó \(A M\) là đường trung tuyến và \(B K = C D\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(C D = A B\) suy ra \(A B = B K\) hay \(D B\) là đường trung tuyến.

Khi đó, \(\Delta K A D\) có ba đường trung tuyến \(A M , B D , K N\) đồng quy.

a) Ta có \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} = 90^{\circ}\) và \(\hat{O_{2}} + \hat{O_{3}} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}\).

Mặt khác \(\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}} = 45^{\circ}\).

Xét \(\Delta A O P\) và \(\Delta B O R\) có

    \(O A = O B\) ( giả thiết)

    \(\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}} = 4 5^{\circ}\)

    \(\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta A O P = \Delta B O R\) (g.c.g)

b) Từ \(\Delta A O P = \Delta B O R\) suy ra \(O P = O R\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho \(\Delta O B R = \Delta O C Q\) và \(\Delta O C Q = \Delta O D S\)

Suy ra \(O R = O Q\) và \(O Q = O S\).

Khi đó \(O P = O R = O S = O Q .\)

c) Tứ giác \(P R Q S\) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Mà \(\Delta O P R\) có \(O P = O R\) và \(\hat{P O R} = 90^{\circ}\) nên \(\Delta O P R\) là tam giác vuông cân tại \(O\)

Suy ra \(\hat{P_{1}} = 45^{\circ}\).

Tương tự \(\hat{P_{2}} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{R P S} = \hat{P_{1}} + \hat{P_{2}} = 90^{\circ}\).

Hình thoi \(P R Q S\) có \(\hat{R P S} = 90^{\circ}\) nên nó là hình vuông.