$D(x)=2\left(x^2-x\right)+\left(3y^2-2y\right)+\left(4z^2-2z\right)+2$

$=2\left(x^2-x+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)+3\left(y^2-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}y+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{9}\right)+\left[(2z{)}^2-2z+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right]+2-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}$

$=2{\left(x-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+3{\left(y-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}\right)}^2+{\left(2z-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $D$ là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}$ tại $(x,y,z)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3};\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}\right)$.

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 4 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{20}$.

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 6 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{20}$.

c) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 1 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{40}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{20}$.

d) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt 3 chấm" là $\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{10}$.

Xét tam giác $ABC$, áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AN}{NC}\left(=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}\right)$

Vậy $MN$ // $BC$ (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{b+a}$ (Định lí Thalès)

Vậy nên $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{a+b}.$

Xét tam giác $ABC$, áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AN}{NC}\left(=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}\right)$

Vậy $MN$ // $BC$ (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{b+a}$ (Định lí Thalès)

Vậy nên $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{a+b}.$

a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}=2$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}.12=8$ (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EB+BA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.

Vậy $x=12$ (cm).

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$, do đó $AM=MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DN$ (1) 

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BM$. (2)

Từ (1) và (2) ta có $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}BM$.

a, tổng số học sinh của lớp là: 16 + 11 + 10 + 3 = 40

số học sinh tốt chiếm số phần trăm là 

16 : 40 x 100% = 40%

số học sinh khá chiếm số phần trăm là

11 : 40 x 100% = 27,5%

b, đúng, vì

số học sinh xếp loại chưa đạt chiếm số phần trăm là

3 : 40 x 100% = 7,5%