Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ tùy ý (với $M$ khác $A$ và $B$). Ký hiệu $O$, O1O_1O1​, O2O_2O2​ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$, $AMC$, $BMC$.

Để chứng minh 4 điểm $C$, O1O_1O1​, $M$, O2O_2O2​ cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác CO1MO2CO_1MO_2CO1​MO2​ nội tiếp.

Vì O1O_1O1​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$, nên O1O_1O1​ cách đều $A$, $M$, và $C$. Tương tự, O2O_2O2​ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$, nên O2O_2O2​ cách đều $B$, $M$, và $C$. Do đó, O1C=O1MO_1C = O_1MO1​C=O1​M và O2C=O2MO_2C = O_2MO2​C=O2​M.

Ta thấy rằng hai tam giác O1CMO_1CMO1​CM và O2CMO_2CMO2​CM đều cân tại O1O_1O1​ và O2O_2O2​, nên ∠O1CM=∠O2CM\angle O_1CM = \angle O_2CM∠O1​CM=∠O2​CM. Điều này chứng minh rằng tứ giác CO1MO2CO_1MO_2CO1​MO2​ là tứ giác nội tiếp, nên 4 điểm $C$, O1O_1O1​, $M$, O2O_2O2​ cùng nằm trên một đường tròn, ký hiệu là $(E)$.

Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có đường kính là $AB$, với $O$ là trung điểm của $AB$. Vì vậy, ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ∠ACB=90∘, đồng thời $O$ cũng cách đều $A$, $B$, và $C$.

Do đó, ∠O1CO=∠O2CO\angle O_1CO = \angle O_2CO∠O1​CO=∠O2​CO và bằng ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ∠ACB=90∘. Điều này chứng tỏ rằng tứ giác CO1MO2CO_1MO_2CO1​MO2​ cũng chứa điểm $O$, nên $O$ nằm trên đường tròn $(E)$.

Để đường tròn $(E)$ có bán kính nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa khoảng cách từ tâm OEO_EOE​ của đường tròn $(E)$ đến các điểm trên $(E)$, đặc biệt là điểm $C$. Để đơn giản hóa bài toán, chọn $M$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó, $(E)$ có bán kính nhỏ nhất.

Vì $x+y+z=6$, áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (AM-GM) cho $x$, $y$, và $z$, ta có:

x+y+z≥3xyz3x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz}x+y+z≥33xyz​

Từ đó suy ra:

6≥3xyz3⇒xyz3≤26 \geq 3 \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow \sqrt[3]{xyz} \leq 26≥33xyz​⇒3xyz​≤2

Nâng cả hai vế lên lũy thừa 3, ta có:

$$xyz\le 8$$

Ta cần chứng minh x+yxyz≥49\frac{x + y}{xyz} \geq \frac{4}{9}xyzx+y​≥94​, tương đương với:

$$9(x+y)\ge 4xyz$$

Xét trường hợp $x=y=z=2$:

• Khi đó, $x+y+z=2+2+2=6$, đúng với điều kiện.
• Tính x+yxyz=2+22⋅2⋅2=48=12\frac{x + y}{xyz} = \frac{2 + 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}xyzx+y​=2⋅2⋅22+2​=84​=21​.

Kết quả này không thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu vì 12<49\frac{1}{2} < \frac{4}{9}21​<94​. Do đó, bất đẳng thức x+yxyz≥49\frac{x + y}{xyz} \geq \frac{4}{9}xyzx+y​≥94​ không đúng với mọi giá trị $x$, $y$, $z>0$ thỏa mãn $x+y+z=6$.

Bài 2:

1. How old is your sister ?

2. The shirt is near the blanket.

3. Do you like the tent ?

4. They are riding bikes.

Bài 1:

1. Yes, i can

2. sliding

3. grapes, table

4. over there

Question 1. Let’s look at the rainbow.

Question 2. He is playing with a kitten.

Question 3. The pizza is yummy. 

Question 4. Can  you see  the village?