B=21+22+23+41​+230

Tách riêng phần phân số:

B=(21+22+23+230)+14B = (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^{30}) + \frac{1}{4}B=(21+22+23+230)+41​

Biểu thức này cần được xem xét kỹ vì 14\frac{1}{4}41​ không phải số nguyên. Do đó, ta nhân toàn bộ $B$ với 4 để loại bỏ phân số:

4B=4⋅(21+22+23+230)+14B = 4 \cdot (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^{30}) + 14B=4⋅(21+22+23+230)+1

Để chứng minh $B$ chia hết cho 21, ta cần chứng minh $4B$ chia hết cho 21.

• 21mod  21=22^1 \mod 21 = 221mod21=2
• 22mod  21=42^2 \mod 21 = 422mod21=4
• 23mod  21=82^3 \mod 21 = 823mod21=8
• 24mod  21=162^4 \mod 21 = 1624mod21=16
• 25mod  21=32mod  21=112^5 \mod 21 = 32 \mod 21 = 1125mod21=32mod21=11

Ta nhận thấy rằng 2nmod  212^n \mod 212nmod21 bắt đầu lặp lại theo chu kỳ. Chu kỳ lặp của 2nmod  212^n \mod 212nmod21 là 6 (do $\varphi (21)=12$, và 2 là số nguyên tố cùng nhau với 21). Vì vậy:

26+k≡2kmod  212^{6+k} \equiv 2^k \mod 2126+k≡2kmod21

30÷6=5 (dư 0)  ⟹  230≡20≡1mod  2130 \div 6 = 5 \, \text{(dư 0)} \implies 2^{30} \equiv 2^0 \equiv 1 \mod 2130÷6=5(dư 0)⟹230≡20≡1mod21

Tính modulo 21 của từng thành phần trong $4B$:

21+22+23+230≡2+4+8+1=15mod  212^1 + 2^2 + 2^3 + 2^{30} \equiv 2 + 4 + 8 + 1 = 15 \mod 2121+22+23+230≡2+4+8+1=15mod21

Nhân với 4:

$$4B\equiv 4\cdot 15+1=60+1=61\mathrm{mod}21⟹4B\equiv 0\mathrm{mod}21$$

Vì $4B$ chia hết cho 21, suy ra $B$ cũng chia hết cho 21.

\(\dfrac{30}{11}\) = 2 giờ 43 phút 38,18 giây

Đoạn đường dành riêng cho dân bản tôi đi về : CN

phải vượt qua một con suối to : VN

Bản làng quê em rất đẹp.

Bản đồ thế giới là một vật hữu dụng.

Trong gia đình em có một nàng công chúa nhỏ đáng yêu là bé Ngọc Hân. Em đã được 24 tháng tuổi.

Ngọc Hân thật bụ bẫm nên trông bé như một chú gấu bông xinh xắn, dễ thương. Tóc em là tóc tơ, lưa thưa như những ngọn cỏ non mới mọc bay trong gió. Khuôn mặt Ngọc Hân tròn trịa, bầu bĩnh trông thật đáng yêu. Em có làn da mịn màng, hồng hào như một thiên thần nhỏ dễ thương. Cặp mắt tròn xoe, đen láy dưới hàng lông mi cong và dài của Ngọc Hân ánh lên vẻ thông minh, nhanh nhẹn. Nó khắc sâu vào tâm trí em dễ dàng như sự hồn nhiên, trong sáng của trẻ thơ. Cái mũi của nàng công chúa Ngọc Hân hơi tẹt trông yêu ơi là yêu! Em có má bầu lúm đồng tiền hồng hồng phính ra hai bên như hai quả cà chua khiến ai đi qua cũng chỉ muốn bẹo mấy cái.Trên đôi môi đỏ thắm, chúm chím của Ngọc Hân hay rạng ngời nụ cười tươi tắn y như nụ hoa xinh vừa hé mở. Và mỗi khi nụ hoa ấy bung nở thì để lộ năm cái răng trắng nõn của bé. Em có đôi bàn tay mũm mĩm hình búp măng cứ nắm chặt vào nhau, ngọ nguậy như những con sâu đo. Trên đôi bàn tay trắng trẻo ấy được mẹ đeo cho chiếc lắc vòng bạc óng ánh rất đẹp. Ở nhà, miệng em bi bô suốt ngày không lúc nào nghỉ.

Nàng công chúa nhỏ đáng yêu của em không những dễ thương mà còn rất ngộ nghĩnh. Mỗi lần không vừa ý điều gì hay bị trêu là Ngọc Hân lại giả vờ khóc, úp mặt xuống gối rồi đợi mọi người đi lại ngẩng đầu lên, nom thật buồn cười! Mỗi khi tập đi, mẹ và bà phải đỡ bên cạnh nếu không bé sẽ ngã. Ngọc Hân đi lẫm chẫm, vài bước rồi lại đòi bò. Đặc biệt, mỗi lần ăn em lại tự xúc cháo bằng thìa nhưng đang ăn thì cô bé tinh nghịch này lại vứt thìa và bò đi chơi chỗ khác. Bé mỗi lần ăn lại nhai chóp chép trông thật ngộ! Những lúc như vậy Ngọc Hân lại dang rộng hai chân ra ôm chọn cái mâm. Em thường hay cho bé tập vẽ nhưng mỗi khi vẽ cô bé nghịch ngợm này lại vẽ ra những nét nguệch ngoạc trông rất buồn cười.Những lúc như vậy, Ngọc Hân ngỡ em chê xấu nên lại lăn ra ăn vạ đòi mẹ. Lúc ấy, mắt em húp lại thật đáng yêu! bé rất thích xem phim hoạt hình. Mỗi lần được xem lại reo hò sung sướng.

Em rất yêu quý Ngọc Hân – cô công chúa nhỏ đáng yêu luôn mang lại niềm vui cho ngôi nhà của em.

Nito ( N₂) bạn nhé