Đặt x = -2y + k (k \(\inℤ\))

Ta có x² + 8y² + 4xy - 2x - 4y = 4

<=> (-2y + k)² + 8y² + 4y(-2y + k) - 2(-2y + k) - 4y = 4

<=> k² + 4y² - 2k = 4

<=> (k - 1)² + (2y)² = 5 (*) 

Dễ thấy (2y)² \(⋮4\) (**)

Với y,k \(\inℤ\) kết hợp (*) ; (**) ta được 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(k-1\right)^2=1\\\left(2y\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=2\end{matrix}\right.\\y=\pm1\end{matrix}\right.\) 

Vậy (k,y) = (0;1) ; (0;-1) ; (2;1) ; (2;-1) 

mà x = k - 2y nên các cặp (x;y) thỏa là (-2;1) ; (2;-1) ; (0;1) ; (4;-1)  

ĐKXĐ : \(x\notin\left\{0;-1;-2;-3;-4\right\}\)

Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x.\left(x+4\right)}+\dfrac{2x+4}{\left(x+1\right).\left(x+3\right)}+\dfrac{1}{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{\left(x+2\right)^2-4}+\dfrac{2x+4}{\left(x+2\right)^2-1}+\dfrac{1}{x+2}=0\) (*)

Đặt x + 2 = a \(\left(a\ne0\right)\) 

(*) \(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{a^2-4}+\dfrac{2a}{a^2-1}+\dfrac{1}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a-\dfrac{4}{a}}+\dfrac{2}{a-\dfrac{1}{a}}+\dfrac{1}{a}=0\) (**)

Đặt \(\dfrac{1}{a}=b\left(b\ne0\right)\) \(\Rightarrow ab=1\)

Ta được (**) \(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a-4b}+\dfrac{2}{a-b}+b=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2b}{1-4b^2}+\dfrac{2b}{1-b^2}+b=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{1-4b^2}+\dfrac{2}{1-b^2}=-1\)

\(\Rightarrow4-10b^2=-4b^4+5b^2-1\)

\(\Leftrightarrow4b^4-15b^2+5=0\) (***)

Đặt b² = t > 0

Ta có (***) <=> \(4t^2-15t+5=0\Leftrightarrow t=\dfrac{15\pm\sqrt{145}}{8}\) (tm)

\(\Leftrightarrow b=\pm\sqrt{\dfrac{15\pm\sqrt{145}}{8}}\) 

mà x + 2 = a ; ab = 1 

nên \(x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{15\pm\sqrt{145}}}-2\)

Thử lại ta có phương trình có 4 nghiệm như trên

VD5. Đặt a = x - y , b = y - z , c = z - x

=> a + b + c = 0

nên P = (x  - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ 

= a³ + b³ + c³ 

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ 

= (-c)³ - 3ab(-c) + c³ 

= 3abc = 3(x - y)(y - z)(z - x)

VD7 : Đặt x + y - z = a ; x - y + z = b ; -x + y + z = c

ta thấy : a + b + c = x + y + z 

Nên ta được Q = (x + y + z)³ - (x + y - z)³ - (x - y + z)³ - (-x + y + z)³

= (a + b + c)³ - a³ - b³ - c³ 

= (a + b)³ + 3(a + b)²c + 3(a + b)c² + c³ - a³ - b³ - c³

= a³ + b³ + 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c) + c³ - a³ - b³ - c³ 

= 3(a + b)[ab + c.(a + b + c)] 

 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

= 24xyz

a) Phương trình hoành độ giao điểm : 

x² = - x + 2

<=> (x - 1)(x + 2)  = 0 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Với x = 1 ta được y = 1

Với x = -2 ta được y = 4

Vậy tọa độ giao điểm là A(1; 1) ; B(-2;4)

b) Gọi C(-2 ; 0) ; D(1;0) 

ta được \(S_{AOB}=S_{ABCD}-S_{BOC}-S_{AOD}\)

\(=\dfrac{\left(BC+AD\right).CD}{2}-\dfrac{BC.CO}{2}-\dfrac{AD.DO}{2}\)

\(=\dfrac{\left(4+1\right).3}{2}+\dfrac{4.2}{2}+\dfrac{1.1}{2}=12\) (đvdt) 

(x + 6)(x + 3)(x + 9)(x + 2) = 5x² 

<=> (x² + 9x + 18).(x² + 11x + 18) = 5x² 

<=> (x² + 10x + 18 - x)(x² + 10x + 18 + x) = 5x² 

<=> (x² + 10x + 18)² - x² = 5x² 

<=> (x² + 10x + 18)² = 6x²

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x^2+10x+18=\sqrt{6}x\\x^2+10x+18=-\sqrt{6}x\end{matrix}\right.\)

Với \(x^2+10x+18=\sqrt{6}x\Leftrightarrow x^2+\left(10-\sqrt{6}\right)x+18=0\)

\(\Delta=\left(10-\sqrt{6}\right)^2-72=34-20\sqrt{6}< 0\) 

=> Phương trình vô nghiệm

Với \(x^2+10x+18=-\sqrt{6}x\Leftrightarrow x^2+\left(10+\sqrt{6}\right)x+18=0\)

\(\Delta=\left(10+\sqrt{6}\right)^2-72=34+20\sqrt{6}\) > 0

Phương trình có 2 nghiệm \(x=\dfrac{-10-\sqrt{6}\pm\sqrt{34+20\sqrt{6}}}{2}\)

\(P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x+\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\left(2\sqrt{x}+1\right)+2.\left(\sqrt{x}+2\right)\)

\(=x-\sqrt{x}+3\)

b) \(\dfrac{P}{2012\sqrt{x}}=\dfrac{x-\sqrt{x}+3}{2012\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2012}-\dfrac{1}{2012}+\dfrac{3}{2012\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{2012}+\dfrac{3}{2012\sqrt{x}}\right)-\dfrac{1}{2012}\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}.3}{2012^2\sqrt{x}}}-\dfrac{1}{2012}\) (BĐT Cauchy)

\(=\dfrac{2\sqrt{3}}{2012}-\dfrac{1}{2012}=\dfrac{2\sqrt{3}-1}{2012}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{x}}{2012}=\dfrac{3}{2012\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=3\)(tm)

A = abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1

= (abc - ab) - (bc - b) - (ac - a) + (c - 1)

= ab(c - 1) - b(c - 1) - a(c - 1) + (c - 1) 

= (ab - b - a + 1)(c - 1) 

= (a - 1).(b - 1).(c - 1)   

ĐKXĐ : \(x\ge5\)

Ta có \(x-3\sqrt{x}+4=2\sqrt{x-5}\)

\(\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}=2\left(\sqrt{x-5}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)=2.\dfrac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\end{matrix}\right.\)

Với \(\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

Với \(\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\Leftrightarrow\sqrt{x}.\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(tm\right)\\x=-4\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{9\right\}\)

b) ĐKXĐ : \(x^3+8\ge0\Leftrightarrow x\ge-2\)

Có \(5\sqrt{x^3+8}=2.\left(x^2-x+6\right)\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{\left(x+2\right).\left(x^2-2x+4\right)}=2.\left(x^2-2x+4\right)+2.\left(x+2\right)\) (*)

Đặt \(\sqrt{x+2}=a;\sqrt{x^2-2x+4}=b\left(a\ge0;b>0\right)\)

Ta có (*) <=> 5ab = 2a² + 2b² 

<=> (b - 2a)(2b - a) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}b=2a\\a=2b\end{matrix}\right.\)

Với b = 2a 

Ta được \(2\sqrt{x+2}=\sqrt{x^2-2x+4}\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{13}\left(tm\right)\)

Với a = 2b

Ta được : \(\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2-2x+4}\)

\(\Leftrightarrow4x^2-9x+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\dfrac{9}{4}\right)^2+\dfrac{143}{16}=0\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Tập nghiệm \(S=\left\{3\pm\sqrt{13}\right\}\)

ĐKXĐ : \(x\ne0;x\ne\pm1\)

a) Bạn ghi lại rõ đề.

b) \(B=\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{3x-x^2}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{3x-x^2}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2+3x-x^2}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}=\dfrac{1}{x-1}\)

c) \(P=A.B=\dfrac{x^2+x-2}{x.\left(x-1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right).\left(x+2\right)}{x\left(x-1\right)}=\dfrac{x+2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\)

Không tồn tại Min P \(\forall x\inℝ\)