VŨ DIỆU HÀ
Giới thiệu về bản thân
a) Tứ giác có nên là hình chữ nhật.
vuông cân tại có là trung tuyến nên cũng là đường phân giác .
Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác nên là hình vuông.
b) vuông tại có nên vuông cân tại
Suy ra mà đồng vị nên //
c) Gọi là giao của với suy ra
vuông tại có là đường trung tuyến nên
có là đường trung tuyến mà suy ra vuông tại
a) Tứ giác có nên là hình chữ nhật.
b) Vì và nên // suy ra (so le trong).
Xét và có:
(giả thiết)
(so le trong)
Vậy (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà nên .
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mà suy ra là hình thoi.
c) Để là hình vuông thì hay vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên vuông cân tại
d) Giả sử cắt tại và cắt tại .
Khi đó có nên cân tại suy ra
cân tại suy ra
Do đó,
Suy ra vuông tại hay
a) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Ta có ; // suy ra .
Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Khi đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà nên là trung điểm của .
Suy ra thẳng hàng.
c) Để tứ giác là hình vuông thì ta cần hay vuông cân tại
a) Ta có suy ra nên và //
Do đó, là hình bình hành.
Lại có nên là hình thoi
b) // suy ra là hình thang.
Mà mà là phân giác nên .
Vậy là hình thang cân.
c) có nên là tam giác cân.
Xét và có:
(giả thiết)
(đối đỉnh)
(so le trong)
Vậy (g.c.g) suy ra (hai cạnh tương ứng).
Khi đó là đường trung tuyến và (hai cạnh tương ứng)
Mà suy ra hay là đường trung tuyến.
Khi đó, có ba đường trung tuyến đồng quy.
a) Ta có và suy ra .
Mặt khác .
Xét và có
( giả thiết)
(chứng minh trên)
Suy ra (g.c.g)
b) Từ suy ra (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự cho và
Suy ra và .
Khi đó
c) Tứ giác là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.
Mà có và nên là tam giác vuông cân tại
Suy ra .
Tương tự nên .
Hình thoi có nên nó là hình vuông.
a) Tứ giác có nên là hình chữ nhật.
b) Vì là hình chữ nhật nên //
Xét và có:
( giả thiết)
(đồng vị)
Vậy (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà nên và .
Do đó .
Tứ giác có // nên là hình bình hành.
Do đó, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay thẳng hàng.
c) Để hình chữ nhật là hình vuông thì
Mà và nên
Từ suy ra .
Vậy cần thêm điều kiên cân tại .
a) Vì suy ra
là hình chữ nhật nên suy ra do đó .
Tứ giác có // nên là hình bình hành.
Lại có nên là hình thoi.
Mà do đó là hình vuông.
Chứng minh tương tự cho tứ giác
b) Vì là hình vuông nên là tia phân giác hay .
Tương tự .
cân có nên là tam giác vuông cân.
c) Vì là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên và
Suy ra là hình thoi.
Lại có nên là hình vuông.
a) là hình vuông nên
Mà .
Trừ theo vế ta được
Suy ra
b) Xét và có:
(chứng minh trên)
(giả thiết)
Suy ra (c.g.c)
c) Từ suy ra (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự câu b ta có và .
Khi đó và .
Mà suy ra .
Do đó, .
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có nên là hình vuông.
a) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
vuông tại có là đường trung tuyến nên .
Vậy hình bình hành có nên là hình thoi.
b) Vì là hình thoi nên // và .
Tứ giác có // nên là hình bình hành.
c) Để là hình vuông thì cần có một góc vuông hay .
Khi đó có vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại .
Vậy vuông cân tại thì là hình vuông.
a) vuông cân nên
vuông tại có
Suy ra nên .
Vậy vuông cân tại
b) Chứng minh tương tự câu a ta được vuông cân tại nên và
Mặt khác suy ra và // (cùng vuông góc với
Tứ giác có // nên là hình bình hành.
Hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.