C1: dự đoán điểm rơi x=y=z=1

dùng Cô si 2 số(CT: \(\sqrt{xy}\le\frac12\left(x+y\right)\) )

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}=\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\)

nếu áp dụng Cô si ngay thì \(\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\le\frac12\left(x+\frac{x}{1+x^2}\right)\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{x}{1+x^2}\)

\(x=1\)

\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{1}{1+1^2}=\frac12\)

ta đặt thêm hệ số n để cân bằng lại

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(nx\right)\cdot\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right)}\)

=> \(n=\frac{1}{2n}\) tại x=1

=> n= \(\frac{1}{\sqrt2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\frac{x\sqrt2}{1+x^2}\right)}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\)

ta có \(\frac{x}{1+x^2}\le\frac12\Rightarrow\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\le\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

CMTT: \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\le\frac{y}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{z}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

=> \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{x+y+z}{2\sqrt2}+3\cdot\frac{\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

"=" xảy ra khi x=y=z=1

C2: dùng Bunhiacopxki 3 số

CT: \(\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)^2\le\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)\)

\(P=\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{x}{1+x^2}}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{\frac{y}{1+y^2}}+\sqrt{z}\cdot\sqrt{\frac{z}{1+z^2}}\)

=> \(P^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)\)

\(P^2\le3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(P\le\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

chào lại em An baka nha:)

a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)

= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)

vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)

"=" xảy ra ki x=y

b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

vì x,y>0 nên x+y>0

=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y

"=" xảy ra khi x=y

c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)

"=" khi x=y

d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

"=" xảy ra khi x=y

a) dễ CM

b) ta có góc BIH+ góc IBH= 90 độ

góc ADI+ góc ABD= 90 độ

mà góc ABD= góc IBH

=> góc ADI= góc BIH

mà góc BIH= góc AID( đối đỉnh)

=> góc ADI= góc AID

=> △ADI cân tại A

c) dễ CM: BD là đường trung trực của AE

mà BD//EF

=> EF⊥AE

từ câu a)=> AD=DE

=> △ADE cân tại D

=> góc DAE= góc DEA và DE=DA

mà góc DFE= 90 độ- góc DAE

góc DEF= góc 90 độ- góc DEA

mà góc DAE= góc DEA

=> góc DFE= góc DEF

=> △DEF cân tại D

=> DE=DF=DA

=> D là trung điểm AF

xét △AEF

FK là đường trung tuyến

ED là đường trung tuyến

=> G là trọng tâm của △AEF

=> GE=2GD(đpcm)

Em đăng kí nhận thưởng sự kiện khen thưởng ctv tích cực hàng tuần từ 10 đến 16 tháng 08 năm 2026 ạ!

a) dễ CM

b) => GF là đường trung bình

=> GF=\(\frac12AB=EB\)

mà từ câu a) => EB=FI

=> GF=FI=> F là trung điểm GI

mà F cx là trung điểm AC

=> tứ giác AICG là hbh

để AIGC là hcn thì AC=GI

mà GI=2GF=AB

=> AC=AB

=> △ABC vuông cân tại A thì AICG là hcn

mà để AIGC là h vuông thì AG=GC

vì △ABC vuông cân nên AG=\(\frac12BC=GC\) ( điều này luôn đúng)

tự đặt số

=> xy=2-x-y

ta có pt2= \(\left(x+y\right)^2-xy=4\)

\(\left(x+y\right)^2-\left(2-x-y\right)=4\)

\(\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)-6=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+3\right)=0\)

TH1: \(y=2-x\)

=> \(x+x\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=2\)

\(x\left(2-x\right)=0\)

TH1a: x=0=> y=2

TH1b: x=2=>y=0

TH2: \(y=-3-x\)

thay vào phương trình (1) ta dc

\(x+x\left(-3-x\right)+\left(-3-x\right)=2\)

\(x-3x-x^2-3-x-2=0\)

\(-x^2-3x-5=0\)

\(\Rightarrow x^2+3x+5=0\)

\(\left(x+\frac34\right)^2+\frac{11}{4}=0\)

vì phương trình trên VT>0 nên vô nghiệm

KL:......

a) ta có DM=DN=NE=MF

xét tam giác DEM và tam giác DFN có:

DM=DN

chung góc D

DE=DF

=> △DEM=△DFN(c.g.c)

=> EM=FN và góc DEM= góc DFN

b) ta có góc MEF= góc DEF- góc DEM

góc NFE= góc DFE- góc DFN

mà góc DEF= góc DFE, góc DEM= góc DFN

=> góc MEF= góc NFE

=> góc KEF= góc KFE

=> △KEF cân tại K

=> KE=KF(đpcm)

a) ta có AB//HK và AH//BK, góc AHK= 90 độ

=> tứ giác ABKH là hcn

b) dễ CM: △BCK=△ADH(ch-cgv)

=> DH=CK

c) dễ CM: △ACH=△BDK

=> CH=DK

mà EH=HD

=> EH-CH= DH-DK

=> EC=HK

mà HK=AB

=> EC=AB

lại có AB//EC=> tứ giác ABCE là hbh

=> A,I,C thẳng hàng(đpcm)

B= \(1-x^2+x-\left(y+2x\right)^2\)

\(B=1+\frac14-\left(x-\frac12\right)^2-\left(y+2x\right)^2\)

\(B=\frac54-\left(x-\frac12\right)^2-\left(y+2x\right)^2\le\frac54\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x-\frac12=0\Rightarrow x=\frac12\)

\(y+2x=0\Rightarrow y=-2\cdot\frac12=-1\)

KL:......

chào Anh Thư , tôi vừa ngủ dậy có hợp lí ko nhỉ

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

b/phương hai vế lên ta dc

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left\lbrack-2\left(ab+bc+ca\right)\right\rbrack^2\)

VT= \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(VP=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(VP=4\left\lbrack a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right\rbrack\)

\(VP=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

=> \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(đpcm\right)\)