Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB.

Xét ∆TCD có 

ˆ

D

T

C

+

ˆ

T

D

C

+

ˆ

T

C

D

=

180

°

Suy ra 

ˆ

D

T

C

=

180

°

−

(

ˆ

T

D

C

+

ˆ

T

C

D

)

=

180

°

−

90

°

=

90

°

 nên AD ⊥ BC.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MN là đường trung bình của ∆ABD, do đó MN // AD.

Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC.

Mặt khác AD ⊥ BC, suy ra MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ.

Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Vì ΔABC đều có 3 đường trung tuyến AM , BN , CP , CB đường H là đường cao của Δ ABC

 Xét ΔBNC vuông tại N có trung tuyến NM 

⇒ NM=

1

2

1

2

  BC ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 

1

2

1

2

  cạnh hyền )

⇒ MN = MB = MC = 

1

2

1

2

  BC 

     MP = MB =MC = 

1

2

1

2

  BC 

⇒ Bốn điểm B , P , N , C cùng thuộc một điểm và đường kính bằng 

B

C

2

B

C

2

 =

a

2

a

2

Ta có: 

A

E

M

^

=

A

D

M

^

=

A

H

M

^

=

9

0

0

AEM

 = 

ADM

 = 

AHM

 =90 

0

=>A,E,M,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AM

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  

A

B

⊥

d

 nên 

d

⊥

C

D

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD.

Suy ra: EA = EB = EC = ED

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này.

Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD.

b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:

A

C

2

=

A

B

2

+

B

C

2

=

3

2

+

3

2

=

18

 suy ra 

A

C

=

3

√

2

(cm)

Vậy bán kính đường tròn là: 

E

A

=

A

C

2

=

3

√

2

2

(cm).

Do tứ giác tạo bởi 4 trung điểm của hình thoi là hình chữ nhật (đã chứng minh ở lớp 8)

Mà hình chữ nhật có 4 đỉnh cách đều giao điểm của hai đường chéo của nó

Do đó 4 đỉnh của hình chữ nhật cùng thuộc đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo của nó

Vậy 4 trung điểm của cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn

a) Ta có 

C

E

B

^

=

C

A

B

^

=

9

0

o

CEB

 = 

CAB

 =90 

o

  nên 4 điểm A, B, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

 b) Kẻ 

F

P

⊥

B

C

FP⊥BC tại P. Ta thấy D là trực tâm tam giác FBC nên 

P

∈

D

F

P∈DF. Dễ thấy 

Δ

C

D

P

Δ

C

B

A

(

g

.

g

)

ΔCDP ΔCBA(g.g) 

⇒

C

D

C

B

=

C

P

C

A

⇒ 

CB

CD

 = 

CA

CP

⇒

C

D

.

C

A

=

C

B

.

C

P

⇒CD.CA=CB.CP

CMTT, ta có 

B

D

.

B

E

=

B

C

.

B

P

BD.BE=BC.BP

Do đó 

C

D

.

C

A

+

B

D

.

B

E

=

C

B

.

C

P

+

B

C

.

B

P

CD.CA+BD.BE=CB.CP+BC.BP 

=

B

C

(

C

P

+

B

P

)

=BC(CP+BP) 

=

B

C

2

=BC 

2

 . Vậy đẳng thức được chứng minh.

ABCD là hình chữ nhật

=>

A

B

2

+

B

C

2

=

A

C

2

AB 

2

 +BC 

2

 =AC 

2

=>

A

C

2

=

a

2

+

b

2

AC 

2

 =a 

2

 +b 

2

=>

A

C

=

a

2

+

b

2

AC= 

a 

2

 +b 

2

ABCD là hình chữ nhật

=>A,B,C,D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Tâm là trung điểm của AC

Bán kính là 

R

=

A

C

2

=

a

2

+

b

2

2

R= 

2

AC

 = 

2

a 

2

 +b 

2

a) Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó 

B

′

O

=

1

2

B

C

.

Mà O là trung điểm của BC nên 

O

B

=

O

C

=

1

2

B

C

.

Do đó 

B

′

O

=

O

B

=

O

C

=

1

2

B

C

.

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có 

C

′

O

=

O

B

=

O

C

=

1

2

B

C

.

Suy ra 

B

′

O

=

C

′

O

=

O

B

=

O

C

=

1

2

B

C

.

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

b) Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

Gọi M là trung điểm của AC

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

BM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông)

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA = MB = MC = MD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng (1/2).AC.