Xét ΔACB có AB là đường kính đường tròn ngoại tuyến

=>ΔACB vuông tại C ( đ/lý đường tròn )

=>\(\widehat{ACB}\)=90 độ (t/c Δvuông)

Có OA=OC=R

mà AC=R(gt)

=>OA=OC=AC

=>ΔAOC đều (đ/n Δđều)

=>\(\widehat{CAO}\)=60 độ (t/c Δđều)

=>\(\widehat{CAB}\)=60 độ (O∈AB)

Xét ΔACB vuông tại C có 

 ​\(\widehat{CAB}\)​​  +\(\widehat{CBA}\)=90 độ (2 góc phụ nhau trong Δvuông )

=>60 độ +\(\widehat{CBA}\)= 90 độ (\(\widehat{CAB}\) = 60 độ 
=> \(\widehat{CBA}\)= 30 độ 

a) Ta có: 
\(\dfrac{OA^,}{OA}\)=\(\dfrac{r}{R}\);\(\dfrac{OB^,}{OB}\)=\(\dfrac{r}{R}\), suy ra \(\dfrac{OA^,}{OA}\)=\(\dfrac{OB^,}{OB}\)

b) Xét ∆OAB có 
\(\dfrac{OA^,}{OA}\)=\(\dfrac{OB^,}{OB}\)
  nên AB // A’B’ (theo định lí Thalès đảo).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên 
OA=OC=\(\dfrac{1}{2}\)AC;OB=OD=\(\dfrac{1}{2}\)BD.(2)

Từ (1) và (2) ta có 
OA=OC=OB=OD=\(\dfrac{1}{2}\)AC=\(\dfrac{1}{2}\)BD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên 
\(\widehat{ADC}\)=90 độ

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC²= AD² + DC² = 18² + 12² = 468.

Do đó 

AC=\(\sqrt{468}\)=\(\sqrt{6^2.13}\)=6\(\sqrt{13}\)=3\(\sqrt{13}\) (cm)

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là 
C,D là \(\dfrac{1}{2}\)AC=\(\dfrac{1}{2}\).6\(\sqrt{13}\)=3\(\sqrt{13}\) (cm)

) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

Điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O là điểm N sao cho OM = ON và OM ⊥ ON.
 Điểm P đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB là điểm P sao cho MP ⊥ AB và MP = MA.
Giải thích: 1. Đối với điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O, ta có:
- OM = ON: Điểm N nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính bằng OM.
- OM ⊥ ON: Điểm N nằm trên đường tròn có tâm O và đi qua M.
 Đối với điểm P đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB, ta có:
- MP ⊥ AB: Điểm P nằm trên đường thẳng AB và nằm ở phía đối diện với M qua AB.
- MP = MA: Điểm P cách đường thẳng AB một khoảng cách bằng MA.

a/

BC cố định => B cố định

AB=4 cm không đổi

=> A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB

b/

Từ M dựng đường thẳng // AB cắt BC tại D

=> D là trung điểm của BC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> MD là đường trung bình của tg ABC => MD=AB2MD=2AB​

Ta có BC cố định =>D cố định

MD không đổi

=> M chạy trên đường tròn tâm D bán kính MD

a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có 
MA=MB=\(\dfrac{AB}{2}\)=\( \dfrac{8}{2}\)=4 (cm)

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA2 = OM2 + AM2

Suy ra OM2 = OA2 – AM2 = 52 – 42 = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.

b) Vì C là giao điểm của hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm) nên C nằm trên cả hai đường tròn, do đó OC = 2 cm và CA = 2 cm.

Suy ra hai điểm O, A cùng nằm trên đường tròn (C; 2 cm).

Vậy đường tròn (C; 2 cm) đi qua hai điểm O và A.