Gọi O là giao điểm của AC và BD 

  ↵

 Gọi O là trung điểm của BC . Ta có BD là đường cao nên BD⊥AC , hay tam giác BDC vuông tại D

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD
Gọi O là giao điểm của  AC và BD

Ta có 
AC⊥BD

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=\(\dfrac{1}{2}\)AB
ON=\(\dfrac{1}{2}\)BC
OP=\(\dfrac{1}{2}\)CD
OQ=\(\dfrac{1}{2}\)AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo).

Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E.

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được 
AC²=AB²+BC²=3²+3²=18.

Suy ra 
AC=\(\sqrt{18}\)= \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (E) là 
R=\(\dfrac{AC}{2}\)=\(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)(cm)

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn.

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà 

AB⊥d nên d⊥CD

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

 Gọi F là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ADME

Ta có: \(\widehat{BAC}\)=\(\widehat{ADM}\)=\(\widehat{AEM}\)=90 độ nên ADME là hình chữ nhật

⇒FD=FM=FE=FA (Vì F là giao điểm 2 đường chéo) và F là trung điểm AM

Xét ΔAMH vuông tại H có: HF là trung tuyến nên  HF=FM=FA

Do đó: FD=FM=FE=FA=FH

⇒A,D,M,H,E cùng thuộc (F)

Vậy A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

Ta có: 
ΔABC đều
N,P là trung điểm AC,AB

→BN⊥AC,CP⊥AB

→ΔBNC,ΔBPC vuông tại N,P

Mà M là trung điểm BC

→MP=MB=MC=\(\dfrac{1}{2}\)BC,MN
=MB=MC=\(\dfrac{1}{2}\)BC

→MP=MN=MB=MC

=\(\dfrac{1}{2}\)BC

→B,P,N,C ϵ đường tròn tâm M bán kính \(\dfrac{1}{2}\)BC=\(\dfrac{1}{2}\)α

Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD vàCB.

Xét ∆TCD có 
\(\widehat{DTC}\)+\(\widehat{TDC}\)+\(\widehat{TCD}\)=180°

Suy ra 
\(\widehat{DTC}\)=180°-(\(\widehat{TDC}\)+\(\widehat{TCD}\))=180°−90°=90°
 nên AD ⊥ BC.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MN là đường trung bình của ∆ABD, do đó MN // AD.

Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC.

Mặt khác AD ⊥ BC, suy ra MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ.

Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

a) Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó 

B′O=\(\dfrac{1}{2}\)BC

Mà O là trung điểm của BC nên OB=OC\(\dfrac{1}{2}\)=BC

Do đó : B′O=OB=OC=\(\dfrac{1}{2}\)BC

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có :C′O=OB=OC=\(\dfrac{1}{2}\)BC
Suy ra 
B′O=C′O=OB=OC=\(\dfrac{1}{2}\)BC

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’

Gọi M là trung điểm của AC

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

BM = \((\dfrac{1}{2})\).AC (tính chất tam giác vuông)

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM = (\(\dfrac{1}{2}\)).AC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA = MB = MC = MD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng (1/2).AC.