Tam giác $OAC$ có ba cạnh bằng nhau $\left(AC=OA=OC\right)$ nên là tam giác đều

Suy ra $\hat{A}=\widehat{C^1}=\widehat{O^1}=60^{\circ }$.

Ta có: $OAC$ có $OB=OC$ nên cân tại $O$ suy ra $\hat{B}=\widehat{C^2}$;

$\widehat{O^1}$ là góc ngoài của $\Delta OBC$.

Do đó $\widehat{O^1}=\hat{B}+\widehat{C^2}=2\hat{B}=2\widehat{C^2}$

$\hat{B}=\widehat{C^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{O^1}=30^{\circ }$

$\widehat{ACB}=\widehat{C^1}+\widehat{C^2}=90^{\circ }$

Vậy $\hat{A}=60^{\circ };\hat{B}=30^{\circ };\hat{C}=90^{\circ }$.

$\Delta CAB$ có trung tuyến $CO$ bằng nửa cạnh đối xứng $AB$ nên vuông tại $C$ với $\widehat{ACB}=90^{\circ }$

Suy ra $\hat{A}=60^{\circ }$ và $\hat{B}=30^{\circ }$

Vậy $\Delta ABC$ có $\hat{C}=90^{\circ };\hat{A}=60^{\circ };\hat{B}=30^{\circ }$.

a) Từ giả thiết, ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{O{A}^{\prime }}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{R^{\prime }}$;

$\genfrac{}{}{0ex}{}{O{B}^{\prime }}{OB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{R^{\prime }}$.

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{O{A}^{\prime }}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{O{B}^{\prime }}{OB}$.

b) Vì $\genfrac{}{}{0ex}{}{O{A}^{\prime }}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{O{B}^{\prime }}{OB}$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

$AB$ // $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA=OB=OC=OD$, suy ra các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn tâm $O$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}$.

Vậy bán kính $R=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{117}}{2}$.

a) Hai đường tròn $(A;6$ cm$)$ và $(B;4$ cm$)$ cắt nhau tại $C$ và $D$ nên $AC=AD=6$ cm, $BC=BD=4$ cm.

b) $AB=8$ cm, $BC=BD=BI=4$ cm.

Suy ra $AI=AB-IB=8-4=4$ cm.

Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

c) Ta có: $AK=AC=6$ cm nên $IK=AK-AI=6-4=2$ cm.

a)

b) Đường tròn $(O;2$ cm$)$ và $(A;2$ cm$)$ cắt nhau tại $C$, $D$, điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm $O$ nên:

$OC=OD=2$ cm, $AC=AD=2$ cm.

Suy ra $OC=CA=2$ cm.

Do đó đường tròn $(C;2$ cm$)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$.

a) Do $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ nên điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$ phải vừa thuộc $OM$, vừa thuộc $\left(O\right)$.

Vậy $N$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với $(O)$.

b) Do $AB$ là trục đối xứng của $(O)$ nên điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $AB$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$.

Vậy $P$ là giao điểm của $(O)$ với đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.

a) Điểm $B$ cố định. Điểm $A$ cách $B$ một khoảng là $4$ cm nên $A$ nằm trên đường tròn $(B;4$ cm$)$.

b) Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ thì $O$ là một điểm cố định.

Ta có $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB=2$ cm.

Điểm $M$ cách điểm $O$ một khoảng $2$ cm nên $M$ nằm trên đường tròn $(O;2$ cm$)$.

a) Ta có $\Delta OAB$ cân tại $O$ vì $OA=OB=R$.

Mà $M$ là trung điểm của $AB$ nên $OM$ là đường trung tuyến của tam giác $OAB$.

Khi đó $OM$ cũng là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

b) Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ chính là đoạn thẳng $OM$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{2}=4$ cm. 

Xét $\Delta OAM$ vuông tại $M$, có $O{A}^2=A{M}^2+O{M}^2$ (định lí Pythagore).

Suy ra $OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm.