ta có: BM/AM=BC/AC=a/b (theo tính chất đường phân giác của tam giác)

CN/AN=BC/AB=a/b  (theo tính chất đường phân giác của tam giác)
=>BM/AM=CN/AN
=>BM/CN=AM/AN
=>MN//BC(định lý ta lét)
=>AM/AB=MN/BC =>AM/b=MN/a (1)
Ta lại có
AM/BM=AC/BC=b/a (theo tính chất đường phân giác của tam giác)
=>AM/b=BM/a=AM+BM/a+b=AB/a+b=b/a+b
=>AM=b2/a+b (thay vào 1)

=>b2/a+b/b=MN/a
b/a+b=MN/a =>MN=ab/a+b

a/xét tam giác ABC,ta có:

vì CD là phân giác của tam giác góc ACB

theo tính chất đường phân giác của tam giác =>AC/AD=CB/BD=AC+CB/AD+BD=12+6/12=3/2

=>AC/AD=3/2=>AD=8

CB/BD=3/2=>BD=4

b/Do CE vuông với phân giác CD nên CE là phân giác ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC
Vậy EB.BC/EA.AC=EB/EB+BA=BC/AC
Gọi độ dài EB là x thì x/x+12=6/12
Vậy x=12cm

:))

Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

Xét tg ABC có

NA=NB; MA=MC => MN là đường trung bình của tg ABC => MN//BC

Xét tg GBC có

DG=DB; EG=EC => DE là đường trung bình của tg GBC => DE//BC

=> MN//DE (cùng // BC)

b/

Xét tg ABG có

NA=NB; DG=DB => ND là đường trung bình của tg ABG => ND//AG

Xét tg ACG có

MA=MC; EG=EC => ME là đường trung bình của tg ACG => ME//AG

=> ND//ME (cùng // với AG)

Goi E là trung điểm của MC

Từ gt AM=12MC⇒AM=ME=ECAM=1/2
​MC⇒AM=ME=EC

Xét tg BCM có

ME=EC (cmt); DB=DC (gt) => DE là đường trung bình của tg BCM

=> DE//BM 

Xét tg ADE có

AM=ME (cmt)

BM//DE (cmt) =>OM//DE

=> OA=OD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

b/

Ta có DE là đường trung bình của tg BCM ⇒DE=12BM⇒DE=
​1/2BM

Xét tg ADE có

OA=OD (cmt); AM=ME (cmt) => OM là đường trung bình của tg ADE

⇒OM=12DE=12.12BM=14BM⇒OM=
​1/2 DE=
​

​1/2.1/2BM=
​1/4BM

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Gọi F Là giao của CG và AB

Xét Δ FBC có:

MG//FB(d//AB)

FG/CF=BM/BC(Thales)

Có: G là trọng tâm ΔABC

      CF là trung tuyến  ΔABC

⇒FG/CF = 1/3

⇒BM/BC=1/3

⇒BM=1/3.BC(đpcm)

Có góc ABC = góc AB'C' = 90 độ

⇒BC//B'C'

Xét ΔAB'C' có:

BC//B'C'(Thales)

⇒x/(x+h)=a/a'

⇒x.a'=a(x+h)

⇒x.a' -x.a=a.h

⇒(a'- a).x=a.h

⇒x=(a.h)/(a'- a)(đpcm)

Xét ΔADB có:

MN//AB(GT)

⇒DN/DB=MN/AB(Thales)(1)

CMTT với ΔABC

⇒PQ/AB=PC/AC=QC/BC(Thales)(2)

Xét ΔBCD có:

NQ//CD(AB//CD)

⇒QC/BC=DN/DB(Thales)(3)

Từ (1),(2),(3):

⇒MN/AB=PQ/AB

⇒MN=PQ(đpcm)