Chìu Tiến Phúc
Giới thiệu về bản thân
Xét tứ giác AIKD, ta có:
AI = KD (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )
AD // IK (vì AD // BC và IK là đường trung bình của tam giác ABC)
góc A= góc D = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy AIKD là hình chữ nhật.
Tương tự, ta chứng minh được BIKC là hình chữ nhật.
Xét tam giác DIC, ta có:
DI = IC (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )
góc D= góc C = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy tam giác DIC là tam giác vuông cân.
Xét tứ giác ISKR, ta có:
IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm hình vuông BIKC và Al = KD BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)
Vậy ISKR là hình chữ nhật.
Xét tứ giác ISKR, ta có:
IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm
hình vuông BIKC và AI = KD , BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)
Vậy ISKR là hình chữ nhật.
Ta có:
góc ISK = góc IKR = 90° (vì ISKR là hình chữ nhật)
góc ISK+ góc IKR = 180°
Vậy ISKR là hình vuông.
a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K
nên MND=90°và MKD=90°
Tứ giác DKMN có KDN=90°;MKD=90°;MND=90°
nên DKMN là hình chữ nhật.
b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
nên MD=1/2EF=ME.
Suy ra ∆MDE cân tại M.
Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra ND=NE=DE/2.
Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).
Suy ra DHEM là hình bình hành.
Do đó DH // ME và DH = ME.
Mà M là trung điểm EF nên ME = MF
Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.
Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.
Vậy H, O, F thẳng hàng.
c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của .
Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF
Do đó ∆DEF cân tại D
Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.
Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.
a.Chứng minh AMCK là hình thoi:
Ta có: I là trung điểm của AC, K đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MK.
Suy ra: Tứ giác AMCK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AMCK là hình bình hành.
Mặt khác, AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BC/2.
Do đó, AM = MC.
Vậy, AMCK là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên AMCK là hình thoi.
b.Chứng minh AKMB là hình bình hành:
Ta có: I là trung điểm của AC, K đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MK.
Suy ra: Tứ giác AKMB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AKMB là hình bình hành.
c.Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông:
Để AMCK là hình vuông thì hình thoi AMCK phải có một góc vuông.
Góc vuông đó phải là góc AMK.
Ta có: AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BC/2.
Do đó, để AMK là góc vuông thì AM phải vuông góc với MK.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A.
a.
Chứng minh tam giác BHE vuông cân:
Ta có: góc BHE = 90° (vì HE vuông góc với BC)
góc ABE = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)
góc BHE + góc ABE + góc EHB = 180° (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: EHB = 45°
Do đó: góc BHE = góc EHB = 45°
Vậy tam giác BHE vuông cân tại H.
b.Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông:
Ta có: góc EHG = góc FGH = 90° (vì HE và GF vuông góc với BC)
góc HEF = góc GFH = 90° (vì EF vuông góc với AB và AC)
Do đó: Tứ giác EFGH có 4 góc vuông.
Mặt khác: BH = HG = GC(gt)
Suy ra: EH = GF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông bằng nhau)
Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Mà EH = GF nên EFGH là hình vuông.
a) Tứ giác
A
M
C
K
AMCK có hai đường chéo
A
C
,
M
K
AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Δ
A
B
C
ΔABC vuông tại
A
A có
A
M
AM là đường trung tuyến nên
A
M
=
M
C
=
M
B
AM=MC=MB.
Vậy hình bình hành
A
M
C
K
AMCK có
A
M
=
M
C
AM=MC nên là hình thoi.
b) Vì
A
M
C
K
AMCK là hình thoi nên
A
K
AK //
B
M
BM và
A
K
=
M
C
=
B
M
AK=MC=BM.
Tứ giác
A
K
M
B
AKMB có
A
K
AK //
B
M
,
A
K
=
B
M
BM,AK=BM nên là hình bình hành.
c) Để
A
M
C
K
AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay
A
M
⊥
M
C
AM⊥MC.
Khi đó
Δ
A
B
C
ΔABC có
A
M
AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại
A
A.
Vậy
Δ
A
B
C
ΔABC vuông cân tại
A
A thì
A
M
C
K
AMCK là hình vuông.
a)
Δ
A
B
C
ΔABC vuông cân nên
B
^
=
C
^
=
45
∘
.
B
=
C
=45
∘
.
Δ
B
H
E
ΔBHE vuông tại
H
H có
B
E
H
^
+
B
^
=
90
∘
BEH
+
B
=90
∘
Suy ra
B
E
H
^
=
90
∘
−
45
∘
=
45
∘
BEH
=90
∘
−45
∘
=45
∘
nên
B
^
=
B
E
H
^
=
45
∘
B
=
BEH
=45
∘
.
Vậy
Δ
B
E
H
ΔBEH vuông cân tại
H
.
H.
b) Chứng minh tương tự câu a ta được
Δ
C
F
G
ΔCFG vuông cân tại
G
G nên
G
F
=
G
C
GF=GC và
H
B
=
H
E
HB=HE
Mặt khác
B
H
=
H
G
=
G
C
BH=HG=GC suy ra
E
H
=
H
G
=
G
F
EH=HG=GF và
E
H
EH //
F
G
FG (cùng vuông góc với
B
C
)
BC)
Tứ giác
E
F
G
H
EFGH có
E
H
EH //
F
G
,
E
H
=
F
G
FG,EH=FG nên là hình bình hành.
Hình bình hành
E
F
G
H
EFGH có một góc vuông
H
^
H
nên là hình chữ nhật
Hình chữ nhật
E
F
G
H
EFGH có hai cạnh kề bằng nhau
E
H
=
H
G
EH=HG nên là hình vuông.
• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
Mà AM = BN = CP = DQ
Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CPDA - DQ
Hay MBNC = PD = QA
• Xét AAMQ và ABNM có:
MAQNBM=90°;
AM = BN (giả thiết);
QA = MB (chứng minh trên)
Do đó AAMQ = ABNM (hai cạnh góc vuông)
Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.
Khi đó MN = NP = PQ = QM.
• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
• Do AAMQ = ABNM (chứng minh trên) nên AMQ=BNM (hai góc tương ứng)
Mà BNM + BMN = 90° (do ABMN vuông tại B
Suy ra AMQ+BMN = 90°
Lại có AMQ+QMN+BMN = 180°
Suy ra QMN=180° -(AMQ+BMN)= =180°-90°=90°.
• Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.
Tứ giác OBAC có ba góc vuông B = C = BOC = 90°
Mà A nằm trên tia phân giác OM suy ra AB = AC
Khi đó OBAC là hình vuông