a. Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CP-DA-DQ CP=DA

Hay MB = NC = PD = QA

b. Xét góc AMQ và góc BNM có:

góc MAQ = góc NBM = 90°

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó goc AMQ = góc BNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ

Khi dó MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

c.Do (chứng minh trên) nên góc AMQ = góc BNM (hai góc tương ứng) góc AMQ = góc BNM

Mà BNM + BMN = 90° (do góc BMN vuông tại B)

Suy ra góc AMQ + BMN = 90°

Lại có góc AMQ + góc QMN + góc BMN = 180°

Suy ra Q MN =180°( góc AMQ + góc BMN )= 180° - 90° = 90°

• Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.

Xét tứ giác AIKD, ta có:

AI = KD (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

AD // IK (vì AD // BC và IK là đường trung bình của tam giác ABC)

góc A= góc D = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy AIKD là hình chữ nhật.

Tương tự, ta chứng minh được BIKC là hình chữ nhật.

Xét tam giác DIC, ta có:

DI = IC (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

góc D= góc C = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy tam giác DIC là tam giác vuông cân.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm hình vuông BIKC và Al = KD BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm

hình vuông BIKC và AI = KD , BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Ta có:

góc ISK = góc IKR = 90° (vì ISKR là hình chữ nhật)

góc ISK+ góc IKR = 180°

Vậy ISKR là hình vuông.

a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K

nên MND=90°và MKD=90°

Tứ giác DKMN có KDN=90°;MKD=90°;MND=90°

nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên MD=1/2EF=ME.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra ND=NE=DE/2.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của .

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông

a: Xét ∆ABC có

M,I lần lượt là trung điểm của CB,СА

=>MI là đường trung bình của △АВС

=>MI//AB và MI=AB/2

Xét tứ giác ABMI có MI//AB

nên ABMI là hình thang

Hình thang ABMI có ABvuôngAI

nên ABMI là hình thang vuông

b: Ta có: ∆ABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMCD có

I là trung điểm chung của AC và MD

=>AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có MA=MC

nên AMCD là hình thoi phần ab

c: AMCD là hình thoi

=>ACvuôngMD tại I

Xét tứ giác AHMI có

AHM = AIM = HAI = 90°

=>AHMI là hình chữ nhật

=>AM cắt HI tại trung điểm của mỗi đường và AM=HI

=>O là trung điểm chung của AM và HI

Xét ACAM có

CO,MI là các đường trung tuyến

CO cắt MI tại K

Do đó: K là trọng tâm của ACAM

Xét ACAM có

MI là đường trung tuyến

K là trọng tâm của ACAM

Do đó: MK = 2/3 × MI = 2/3 × 1/2 MD = 1/3 × MD Ta có: MK+KD=MD => KD + 1/3 × MD = MD => KD = 2/3 × MD

=> KD = 2 × 1/3 × MD = 2MI

A,Chứng minh tam giác BH E vuông cân:
Ta có: BHE = 90° (vì HE vuông góc với BC)
ABE = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)
BHE + ABE + EHB = 180° (tổng ba góc trong tam giác)
Suy ra: EHB = 45°
Do đó: BHE = EHB = 45°
Vậy tam giác BH E vuông cân tại H.

B,Chứng minh tứ giác E FGH là hình vuông:
Ta có: EHG = FGH = 90° (vì HE và GF vuông góc với BC)
HEF = GFH = 90° (vì EF vuông góc với
AB và AC)
Do đó: Tứ giác EFGH có 4 góc vuông.
Mặt khác: BH = HG = GC (gt)
Suy ra: EH = GF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông bằng nhau)
Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Mà EH = GF nên EFGH là hình vuông.

Xét OBAC có
Góc C,O,B =90°
=> OBAC Là hình chữ nhật
Mà OM là tia p.giác góc 0
=>OBAC là hình vuông