Tứ giác 

D

K

M

N

DKMN có 

D

^

=

K

^

=

N

^

=

90

∘

D

 = 

K

 = 

N

 =90 

∘

  nên là hình chữ nhật.

 

b) Vì 

D

K

M

N

DKMN là hình chữ nhật nên 

D

F

DF // 

M

H

MH

 

Xét 

Δ

K

F

M

ΔKFM và 

Δ

N

M

E

ΔNME có:

 

     

K

^

=

N

^

=

90

∘

K

 = 

N

 =90 

∘

 

 

     

F

M

=

M

E

FM=ME ( giả thiết)

 

     

K

M

F

^

=

E

^

KMF

 = 

E

  (đồng vị)

 

Vậy 

Δ

K

F

M

=

Δ

N

M

E

ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

 

Suy ra 

K

F

=

M

N

KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà 

M

N

=

D

K

MN=DK nên 

D

F

=

2

D

K

DF=2DK và 

M

H

=

2

M

N

MH=2MN.

 

Do đó 

D

F

=

M

H

DF=MH.

 

Tứ giác 

D

F

M

H

DFMH có 

D

F

DF // 

M

H

,

D

F

=

M

H

MH,DF=MH nên là hình bình hành.

 

Do đó, hai đường chéo 

D

M

,

F

H

DM,FH cắt nhau tại trung điểm 

O

O của mỗi đường hay 

F

,

O

,

H

F,O,H thẳng hàng.

 

c) Để hình chữ nhật 

D

K

M

N

DKMN là hình vuông thì 

D

K

=

D

N

DK=DN 

(

1

)

(1)

 

Mà 

D

K

=

1

2

D

F

DK= 

2

1

 

 DF và 

D

N

=

K

M

=

N

E

DN=KM=NE nên 

D

N

=

1

2

D

E

DN= 

2

1

 

 DE 

(

2

)

(2)

 

Từ 

(

1

)

,

(

2

)

(1),(2) suy ra 

D

F

=

D

E

DF=DE.

 

Vậy 

Δ

D

F

E

ΔDFE cần thêm điều kiên cân tại 

D

D.

Bài tập tự luận: Hình vuông

Bài 1

loading...

 

Cho 

x

O

y

^

=

90

∘

xOy

 

 =90 

∘

  và tia phân giác 

O

m

Om. Lấy điểm 

A

A trên 

O

m

.

Om. Kẻ 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt vuông góc với 

O

x

,

O

y

.

Ox,Oy. Chứng minh 

O

B

A

C

OBAC là hình vuông.

 

Xét OBAC có

 

Góc C,O,B=90°

 

=> OABC là tia phân giác góc Ở

 

=> OBAC là hình vuông 

 

[Sửa]

Bài 2

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A. Trên cạnh 

B

C

BC lấy hai điểm 

H

,

G

H,G sao cho 

B

H

=

H

G

=

G

C

.

BH=HG=GC. Qua 

H

H và 

G

G kẻ các đường thẳng vuông góc với 

B

C

BC chúng cắt 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt tại 

E

,

F

.

E,F.

 

a) Chứng minh 

Δ

B

H

E

ΔBHE là tam giác vuông cân.

 

b) Chứng minh tứ giác 

E

F

G

H

EFGH là hình vuông.

 

ΔABC vuông cân nên 

 

B

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

.

 

B

 

 = 

 

C

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Δ

 

B

 

H

 

E

 

ΔBHE vuông tại 

 

H

 

H có 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

+

 

B

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

BEH

 

 + 

 

B

 

 =90 

 

∘

 

Suy ra 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

−

 

45

 

∘

 

=

 

45

 

∘

 

BEH

 

 =90 

 

∘

 

 −45 

 

∘

 

 =45 

 

∘

 

  nên 

 

B

 

^

 

=

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

B

 

 = 

 

BEH

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Vậy 

 

Δ

 

B

 

E

 

H

 

ΔBEH vuông cân tại 

 

H

 

.

 

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

 

Δ

 

C

 

F

 

G

 

ΔCFG vuông cân tại 

 

G

 

G nên 

 

G

 

F

 

=

 

G

 

C

 

GF=GC và 

 

H

 

B

 

=

 

H

 

E

 

HB=HE

 

Mặt khác 

 

B

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

C

 

BH=HG=GC suy ra 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

F

 

EH=HG=GF và 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

FG (cùng vuông góc với 

 

B

 

C

 

)

 

BC)

 

Tứ giác 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

,

 

E

 

H

 

=

 

F

 

G

 

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có một góc vuông 

 

H

 

^

 

H

 

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

EH=HG nên là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 3

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

,

A, đường trung tuyến 

A

M

.

AM. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC. Trên tia đối của tia 

I

M

IM lấy điểm 

K

K sao cho 

I

K

=

I

M

.

IK=IM.

 

a) Chứng minh 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi.

 

b) Chứng minh 

A

K

M

B

AKMB là hình bình hành.

 

c) Tìm điều kiện của 

Δ

A

B

C

ΔABC để tứ giác 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông. 

 

Tứ giác 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có hai đường chéo 

 

A

 

C

 

,

 

M

 

K

 

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông tại 

 

A

 

A có 

 

A

 

M

 

AM là đường trung tuyến nên 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

=

 

M

 

B

 

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình thoi nên 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

BM và 

 

A

 

K

 

=

 

M

 

C

 

=

 

B

 

M

 

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

 

A

 

K

 

M

 

B

 

AKMB có 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

,

 

A

 

K

 

=

 

B

 

M

 

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

 

A

 

M

 

⊥

 

M

 

C

 

AM⊥MC.

 

Khi đó 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC có 

 

A

 

M

 

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

 

A

 

A.

 

Vậy 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông cân tại 

 

A

 

A thì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 4

loading...

 

Cho hình vuông 

A

B

C

D

ABCD. Trên các cạnh 

A

B

,

B

C

,

AB,BC, 

C

D

,

D

A

CD,DA lấy lần lượt các điểm 

M

,

N

,

P

,

Q

M,N,P,Q sao cho 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

.

AM=BN=CP=DQ.

 

a) Chứng minh 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

.

MB=NC=PD=QA.

 

b) Chứng minh 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

.

ΔQAM=ΔNCP.

 

c) Chứng minh 

M

N

P

Q

MNPQ là hình vuông.

 

ABCD là hình vuông nên 

 

A

 

B

 

=

 

B

 

C

 

=

 

C

 

D

 

=

 

D

 

A

 

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

 

A

 

M

 

=

 

B

 

N

 

=

 

C

 

P

 

=

 

D

 

Q

 

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

 

A

 

B

 

−

 

A

 

M

 

=

 

B

 

C

 

−

 

B

 

N

 

=

 

C

 

D

 

−

 

C

 

P

 

=

 

D

 

A

 

−

 

D

 

Q

 

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

 

M

 

B

 

=

 

N

 

C

 

=

 

P

 

D

 

=

 

Q

 

A

 

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

ΔQAM và 

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔNCP có:

 

A

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

A

 

 = 

 

C

 

 =90 

 

∘

 

A

 

Q

 

=

 

N

 

C

 

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

 

M

 

=

 

C

 

P

 

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

 

N

 

P

 

=

 

M

 

Q

 

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

P

 

D

 

Q

 

ΔQAM=ΔPDQ và 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

M

 

B

 

N

 

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

 

⇒

 

M

 

Q

 

=

 

P

 

Q

 

,

 

M

 

N

 

=

 

M

 

Q

 

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

=

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

AMQ

 

 = 

 

DQP

 

 .

 

Mà 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

AMQ

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

  suy ra 

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

DQP

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Do đó, 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Tứ giác 

 

M

 

N

 

P

 

Q

 

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

  nên là hình vuông

 

[Sửa]

Bài 5

loading...

 

Cho hình chữ nhật 

A

B

C

D

ABCD có 

A

B

=

2

B

C

.

AB=2BC. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

B

AB và 

K

K là trung điểm của 

D

C

.

DC.

 

a) Chứng minh 

A

I

K

D

AIKD và 

B

I

K

C

BIKC là hình vuông.

 

b) Chứng minh 

Δ

D

I

C

ΔDIC vuông cân.

 

c) Gọi 

S

S và 

R

R lần lượt là tâm các hình vuông 

A

I

K

D

,

AIKD, 

B

I

K

C

.

BIKC. Chứng minh 

[

I

S

K

R

[ISKR là hình vuông.

 

Hướng dẫn giải:

a) Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình vuông.

Bài tập tự luận: Hình vuông

Bài 1

loading...

 

Cho 

x

O

y

^

=

90

∘

xOy

 

 =90 

∘

  và tia phân giác 

O

m

Om. Lấy điểm 

A

A trên 

O

m

.

Om. Kẻ 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt vuông góc với 

O

x

,

O

y

.

Ox,Oy. Chứng minh 

O

B

A

C

OBAC là hình vuông.

 

Xét OBAC có

 

Góc C,O,B=90°

 

=> OABC là tia phân giác góc Ở

 

=> OBAC là hình vuông 

 

[Sửa]

Bài 2

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A. Trên cạnh 

B

C

BC lấy hai điểm 

H

,

G

H,G sao cho 

B

H

=

H

G

=

G

C

.

BH=HG=GC. Qua 

H

H và 

G

G kẻ các đường thẳng vuông góc với 

B

C

BC chúng cắt 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt tại 

E

,

F

.

E,F.

 

a) Chứng minh 

Δ

B

H

E

ΔBHE là tam giác vuông cân.

 

b) Chứng minh tứ giác 

E

F

G

H

EFGH là hình vuông.

 

ΔABC vuông cân nên 

 

B

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

.

 

B

 

 = 

 

C

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Δ

 

B

 

H

 

E

 

ΔBHE vuông tại 

 

H

 

H có 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

+

 

B

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

BEH

 

 + 

 

B

 

 =90 

 

∘

 

Suy ra 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

−

 

45

 

∘

 

=

 

45

 

∘

 

BEH

 

 =90 

 

∘

 

 −45 

 

∘

 

 =45 

 

∘

 

  nên 

 

B

 

^

 

=

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

B

 

 = 

 

BEH

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Vậy 

 

Δ

 

B

 

E

 

H

 

ΔBEH vuông cân tại 

 

H

 

.

 

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

 

Δ

 

C

 

F

 

G

 

ΔCFG vuông cân tại 

 

G

 

G nên 

 

G

 

F

 

=

 

G

 

C

 

GF=GC và 

 

H

 

B

 

=

 

H

 

E

 

HB=HE

 

Mặt khác 

 

B

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

C

 

BH=HG=GC suy ra 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

F

 

EH=HG=GF và 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

FG (cùng vuông góc với 

 

B

 

C

 

)

 

BC)

 

Tứ giác 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

,

 

E

 

H

 

=

 

F

 

G

 

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có một góc vuông 

 

H

 

^

 

H

 

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

EH=HG nên là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 3

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

,

A, đường trung tuyến 

A

M

.

AM. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC. Trên tia đối của tia 

I

M

IM lấy điểm 

K

K sao cho 

I

K

=

I

M

.

IK=IM.

 

a) Chứng minh 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi.

 

b) Chứng minh 

A

K

M

B

AKMB là hình bình hành.

 

c) Tìm điều kiện của 

Δ

A

B

C

ΔABC để tứ giác 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông. 

 

Tứ giác 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có hai đường chéo 

 

A

 

C

 

,

 

M

 

K

 

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông tại 

 

A

 

A có 

 

A

 

M

 

AM là đường trung tuyến nên 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

=

 

M

 

B

 

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình thoi nên 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

BM và 

 

A

 

K

 

=

 

M

 

C

 

=

 

B

 

M

 

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

 

A

 

K

 

M

 

B

 

AKMB có 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

,

 

A

 

K

 

=

 

B

 

M

 

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

 

A

 

M

 

⊥

 

M

 

C

 

AM⊥MC.

 

Khi đó 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC có 

 

A

 

M

 

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

 

A

 

A.

 

Vậy 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông cân tại 

 

A

 

A thì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 4

loading...

 

Cho hình vuông 

A

B

C

D

ABCD. Trên các cạnh 

A

B

,

B

C

,

AB,BC, 

C

D

,

D

A

CD,DA lấy lần lượt các điểm 

M

,

N

,

P

,

Q

M,N,P,Q sao cho 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

.

AM=BN=CP=DQ.

 

a) Chứng minh 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

.

MB=NC=PD=QA.

 

b) Chứng minh 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

.

ΔQAM=ΔNCP.

 

c) Chứng minh 

M

N

P

Q

MNPQ là hình vuông.

 

ABCD là hình vuông nên 

 

A

 

B

 

=

 

B

 

C

 

=

 

C

 

D

 

=

 

D

 

A

 

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

 

A

 

M

 

=

 

B

 

N

 

=

 

C

 

P

 

=

 

D

 

Q

 

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

 

A

 

B

 

−

 

A

 

M

 

=

 

B

 

C

 

−

 

B

 

N

 

=

 

C

 

D

 

−

 

C

 

P

 

=

 

D

 

A

 

−

 

D

 

Q

 

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

 

M

 

B

 

=

 

N

 

C

 

=

 

P

 

D

 

=

 

Q

 

A

 

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

ΔQAM và 

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔNCP có:

 

A

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

A

 

 = 

 

C

 

 =90 

 

∘

 

A

 

Q

 

=

 

N

 

C

 

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

 

M

 

=

 

C

 

P

 

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

 

N

 

P

 

=

 

M

 

Q

 

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

P

 

D

 

Q

 

ΔQAM=ΔPDQ và 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

M

 

B

 

N

 

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

 

⇒

 

M

 

Q

 

=

 

P

 

Q

 

,

 

M

 

N

 

=

 

M

 

Q

 

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

=

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

AMQ

 

 = 

 

DQP

 

 .

 

Mà 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

AMQ

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

  suy ra 

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

DQP

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Do đó, 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Tứ giác 

 

M

 

N

 

P

 

Q

 

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

  nên là hình vuông

 

[Sửa]

Bài 5

loading...

 

Cho hình chữ nhật 

A

B

C

D

ABCD có 

A

B

=

2

B

C

.

AB=2BC. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

B

AB và 

K

K là trung điểm của 

D

C

.

DC.

 

a) Chứng minh 

A

I

K

D

AIKD và 

B

I

K

C

BIKC là hình vuông.

 

b) Chứng minh 

Δ

D

I

C

ΔDIC vuông cân.

 

c) Gọi 

S

S và 

R

R lần lượt là tâm các hình vuông 

A

I

K

D

,

AIKD, 

B

I

K

C

.

BIKC. Chứng minh 

[

I

S

K

R

[ISKR là hình vuông.

 

Hướng dẫn giải:

a) Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình vuông.

Bài tập tự luận: Hình vuông

Bài 1

loading...

 

Cho 

x

O

y

^

=

90

∘

xOy

 

 =90 

∘

  và tia phân giác 

O

m

Om. Lấy điểm 

A

A trên 

O

m

.

Om. Kẻ 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt vuông góc với 

O

x

,

O

y

.

Ox,Oy. Chứng minh 

O

B

A

C

OBAC là hình vuông.

 

Xét OBAC có

 

Góc C,O,B=90°

 

=> OABC là tia phân giác góc Ở

 

=> OBAC là hình vuông 

 

[Sửa]

Bài 2

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A. Trên cạnh 

B

C

BC lấy hai điểm 

H

,

G

H,G sao cho 

B

H

=

H

G

=

G

C

.

BH=HG=GC. Qua 

H

H và 

G

G kẻ các đường thẳng vuông góc với 

B

C

BC chúng cắt 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt tại 

E

,

F

.

E,F.

 

a) Chứng minh 

Δ

B

H

E

ΔBHE là tam giác vuông cân.

 

b) Chứng minh tứ giác 

E

F

G

H

EFGH là hình vuông.

 

ΔABC vuông cân nên 

 

B

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

.

 

B

 

 = 

 

C

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Δ

 

B

 

H

 

E

 

ΔBHE vuông tại 

 

H

 

H có 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

+

 

B

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

BEH

 

 + 

 

B

 

 =90 

 

∘

 

Suy ra 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

−

 

45

 

∘

 

=

 

45

 

∘

 

BEH

 

 =90 

 

∘

 

 −45 

 

∘

 

 =45 

 

∘

 

  nên 

 

B

 

^

 

=

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

B

 

 = 

 

BEH

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Vậy 

 

Δ

 

B

 

E

 

H

 

ΔBEH vuông cân tại 

 

H

 

.

 

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

 

Δ

 

C

 

F

 

G

 

ΔCFG vuông cân tại 

 

G

 

G nên 

 

G

 

F

 

=

 

G

 

C

 

GF=GC và 

 

H

 

B

 

=

 

H

 

E

 

HB=HE

 

Mặt khác 

 

B

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

C

 

BH=HG=GC suy ra 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

F

 

EH=HG=GF và 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

FG (cùng vuông góc với 

 

B

 

C

 

)

 

BC)

 

Tứ giác 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

,

 

E

 

H

 

=

 

F

 

G

 

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có một góc vuông 

 

H

 

^

 

H

 

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

EH=HG nên là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 3

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

,

A, đường trung tuyến 

A

M

.

AM. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC. Trên tia đối của tia 

I

M

IM lấy điểm 

K

K sao cho 

I

K

=

I

M

.

IK=IM.

 

a) Chứng minh 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi.

 

b) Chứng minh 

A

K

M

B

AKMB là hình bình hành.

 

c) Tìm điều kiện của 

Δ

A

B

C

ΔABC để tứ giác 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông. 

 

Tứ giác 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có hai đường chéo 

 

A

 

C

 

,

 

M

 

K

 

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông tại 

 

A

 

A có 

 

A

 

M

 

AM là đường trung tuyến nên 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

=

 

M

 

B

 

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình thoi nên 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

BM và 

 

A

 

K

 

=

 

M

 

C

 

=

 

B

 

M

 

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

 

A

 

K

 

M

 

B

 

AKMB có 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

,

 

A

 

K

 

=

 

B

 

M

 

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

 

A

 

M

 

⊥

 

M

 

C

 

AM⊥MC.

 

Khi đó 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC có 

 

A

 

M

 

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

 

A

 

A.

 

Vậy 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông cân tại 

 

A

 

A thì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 4

loading...

 

Cho hình vuông 

A

B

C

D

ABCD. Trên các cạnh 

A

B

,

B

C

,

AB,BC, 

C

D

,

D

A

CD,DA lấy lần lượt các điểm 

M

,

N

,

P

,

Q

M,N,P,Q sao cho 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

.

AM=BN=CP=DQ.

 

a) Chứng minh 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

.

MB=NC=PD=QA.

 

b) Chứng minh 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

.

ΔQAM=ΔNCP.

 

c) Chứng minh 

M

N

P

Q

MNPQ là hình vuông.

 

ABCD là hình vuông nên 

 

A

 

B

 

=

 

B

 

C

 

=

 

C

 

D

 

=

 

D

 

A

 

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

 

A

 

M

 

=

 

B

 

N

 

=

 

C

 

P

 

=

 

D

 

Q

 

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

 

A

 

B

 

−

 

A

 

M

 

=

 

B

 

C

 

−

 

B

 

N

 

=

 

C

 

D

 

−

 

C

 

P

 

=

 

D

 

A

 

−

 

D

 

Q

 

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

 

M

 

B

 

=

 

N

 

C

 

=

 

P

 

D

 

=

 

Q

 

A

 

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

ΔQAM và 

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔNCP có:

 

A

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

A

 

 = 

 

C

 

 =90 

 

∘

 

A

 

Q

 

=

 

N

 

C

 

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

 

M

 

=

 

C

 

P

 

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

 

N

 

P

 

=

 

M

 

Q

 

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

P

 

D

 

Q

 

ΔQAM=ΔPDQ và 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

M

 

B

 

N

 

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

 

⇒

 

M

 

Q

 

=

 

P

 

Q

 

,

 

M

 

N

 

=

 

M

 

Q

 

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

=

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

AMQ

 

 = 

 

DQP

 

 .

 

Mà 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

AMQ

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

  suy ra 

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

DQP

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Do đó, 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Tứ giác 

 

M

 

N

 

P

 

Q

 

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

  nên là hình vuông

 

[Sửa]

Bài 5

loading...

 

Cho hình chữ nhật 

A

B

C

D

ABCD có 

A

B

=

2

B

C

.

AB=2BC. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

B

AB và 

K

K là trung điểm của 

D

C

.

DC.

 

a) Chứng minh 

A

I

K

D

AIKD và 

B

I

K

C

BIKC là hình vuông.

 

b) Chứng minh 

Δ

D

I

C

ΔDIC vuông cân.

 

c) Gọi 

S

S và 

R

R lần lượt là tâm các hình vuông 

A

I

K

D

,

AIKD, 

B

I

K

C

.

BIKC. Chứng minh 

[

I

S

K

R

[ISKR là hình vuông.

 

Hướng dẫn giải:

a) Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình vuông.

Bài tập tự luận: Hình vuông

Bài 1

loading...

 

Cho 

x

O

y

^

=

90

∘

xOy

 

 =90 

∘

  và tia phân giác 

O

m

Om. Lấy điểm 

A

A trên 

O

m

.

Om. Kẻ 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt vuông góc với 

O

x

,

O

y

.

Ox,Oy. Chứng minh 

O

B

A

C

OBAC là hình vuông.

 

Xét OBAC có

 

Góc C,O,B=90°

 

=> OABC là tia phân giác góc Ở

 

=> OBAC là hình vuông 

 

[Sửa]

Bài 2

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A. Trên cạnh 

B

C

BC lấy hai điểm 

H

,

G

H,G sao cho 

B

H

=

H

G

=

G

C

.

BH=HG=GC. Qua 

H

H và 

G

G kẻ các đường thẳng vuông góc với 

B

C

BC chúng cắt 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt tại 

E

,

F

.

E,F.

 

a) Chứng minh 

Δ

B

H

E

ΔBHE là tam giác vuông cân.

 

b) Chứng minh tứ giác 

E

F

G

H

EFGH là hình vuông.

 

ΔABC vuông cân nên 

 

B

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

.

 

B

 

 = 

 

C

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Δ

 

B

 

H

 

E

 

ΔBHE vuông tại 

 

H

 

H có 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

+

 

B

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

BEH

 

 + 

 

B

 

 =90 

 

∘

 

Suy ra 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

−

 

45

 

∘

 

=

 

45

 

∘

 

BEH

 

 =90 

 

∘

 

 −45 

 

∘

 

 =45 

 

∘

 

  nên 

 

B

 

^

 

=

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

B

 

 = 

 

BEH

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Vậy 

 

Δ

 

B

 

E

 

H

 

ΔBEH vuông cân tại 

 

H

 

.

 

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

 

Δ

 

C

 

F

 

G

 

ΔCFG vuông cân tại 

 

G

 

G nên 

 

G

 

F

 

=

 

G

 

C

 

GF=GC và 

 

H

 

B

 

=

 

H

 

E

 

HB=HE

 

Mặt khác 

 

B

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

C

 

BH=HG=GC suy ra 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

F

 

EH=HG=GF và 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

FG (cùng vuông góc với 

 

B

 

C

 

)

 

BC)

 

Tứ giác 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

,

 

E

 

H

 

=

 

F

 

G

 

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có một góc vuông 

 

H

 

^

 

H

 

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

EH=HG nên là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 3

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

,

A, đường trung tuyến 

A

M

.

AM. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC. Trên tia đối của tia 

I

M

IM lấy điểm 

K

K sao cho 

I

K

=

I

M

.

IK=IM.

 

a) Chứng minh 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi.

 

b) Chứng minh 

A

K

M

B

AKMB là hình bình hành.

 

c) Tìm điều kiện của 

Δ

A

B

C

ΔABC để tứ giác 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông. 

 

Tứ giác 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có hai đường chéo 

 

A

 

C

 

,

 

M

 

K

 

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông tại 

 

A

 

A có 

 

A

 

M

 

AM là đường trung tuyến nên 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

=

 

M

 

B

 

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình thoi nên 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

BM và 

 

A

 

K

 

=

 

M

 

C

 

=

 

B

 

M

 

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

 

A

 

K

 

M

 

B

 

AKMB có 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

,

 

A

 

K

 

=

 

B

 

M

 

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

 

A

 

M

 

⊥

 

M

 

C

 

AM⊥MC.

 

Khi đó 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC có 

 

A

 

M

 

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

 

A

 

A.

 

Vậy 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông cân tại 

 

A

 

A thì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 4

loading...

 

Cho hình vuông 

A

B

C

D

ABCD. Trên các cạnh 

A

B

,

B

C

,

AB,BC, 

C

D

,

D

A

CD,DA lấy lần lượt các điểm 

M

,

N

,

P

,

Q

M,N,P,Q sao cho 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

.

AM=BN=CP=DQ.

 

a) Chứng minh 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

.

MB=NC=PD=QA.

 

b) Chứng minh 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

.

ΔQAM=ΔNCP.

 

c) Chứng minh 

M

N

P

Q

MNPQ là hình vuông.

 

ABCD là hình vuông nên 

 

A

 

B

 

=

 

B

 

C

 

=

 

C

 

D

 

=

 

D

 

A

 

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

 

A

 

M

 

=

 

B

 

N

 

=

 

C

 

P

 

=

 

D

 

Q

 

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

 

A

 

B

 

−

 

A

 

M

 

=

 

B

 

C

 

−

 

B

 

N

 

=

 

C

 

D

 

−

 

C

 

P

 

=

 

D

 

A

 

−

 

D

 

Q

 

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

 

M

 

B

 

=

 

N

 

C

 

=

 

P

 

D

 

=

 

Q

 

A

 

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

ΔQAM và 

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔNCP có:

 

A

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

A

 

 = 

 

C

 

 =90 

 

∘

 

A

 

Q

 

=

 

N

 

C

 

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

 

M

 

=

 

C

 

P

 

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

 

N

 

P

 

=

 

M

 

Q

 

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

P

 

D

 

Q

 

ΔQAM=ΔPDQ và 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

M

 

B

 

N

 

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

 

⇒

 

M

 

Q

 

=

 

P

 

Q

 

,

 

M

 

N

 

=

 

M

 

Q

 

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

=

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

AMQ

 

 = 

 

DQP

 

 .

 

Mà 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

AMQ

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

  suy ra 

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

DQP

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Do đó, 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Tứ giác 

 

M

 

N

 

P

 

Q

 

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

  nên là hình vuông

 

[Sửa]

Bài 5

loading...

 

Cho hình chữ nhật 

A

B

C

D

ABCD có 

A

B

=

2

B

C

.

AB=2BC. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

B

AB và 

K

K là trung điểm của 

D

C

.

DC.

 

a) Chứng minh 

A

I

K

D

AIKD và 

B

I

K

C

BIKC là hình vuông.

 

b) Chứng minh 

Δ

D

I

C

ΔDIC vuông cân.

 

c) Gọi 

S

S và 

R

R lần lượt là tâm các hình vuông 

A

I

K

D

,

AIKD, 

B

I

K

C

.

BIKC. Chứng minh 

[

I

S

K

R

[ISKR là hình vuông.

 

Hướng dẫn giải:

a) Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình vuông.

Bài tập tự luận: Hình vuông

Bài 1

loading...

 

Cho 

x

O

y

^

=

90

∘

xOy

 

 =90 

∘

  và tia phân giác 

O

m

Om. Lấy điểm 

A

A trên 

O

m

.

Om. Kẻ 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt vuông góc với 

O

x

,

O

y

.

Ox,Oy. Chứng minh 

O

B

A

C

OBAC là hình vuông.

 

Xét OBAC có

 

Góc C,O,B=90°

 

=> OABC là tia phân giác góc Ở

 

=> OBAC là hình vuông 

 

[Sửa]

Bài 2

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông cân tại 

A

A. Trên cạnh 

B

C

BC lấy hai điểm 

H

,

G

H,G sao cho 

B

H

=

H

G

=

G

C

.

BH=HG=GC. Qua 

H

H và 

G

G kẻ các đường thẳng vuông góc với 

B

C

BC chúng cắt 

A

B

,

A

C

AB,AC lần lượt tại 

E

,

F

.

E,F.

 

a) Chứng minh 

Δ

B

H

E

ΔBHE là tam giác vuông cân.

 

b) Chứng minh tứ giác 

E

F

G

H

EFGH là hình vuông.

 

ΔABC vuông cân nên 

 

B

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

.

 

B

 

 = 

 

C

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Δ

 

B

 

H

 

E

 

ΔBHE vuông tại 

 

H

 

H có 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

+

 

B

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

BEH

 

 + 

 

B

 

 =90 

 

∘

 

Suy ra 

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

−

 

45

 

∘

 

=

 

45

 

∘

 

BEH

 

 =90 

 

∘

 

 −45 

 

∘

 

 =45 

 

∘

 

  nên 

 

B

 

^

 

=

 

B

 

E

 

H

 

^

 

=

 

45

 

∘

 

B

 

 = 

 

BEH

 

 =45 

 

∘

 

 .

 

Vậy 

 

Δ

 

B

 

E

 

H

 

ΔBEH vuông cân tại 

 

H

 

.

 

H.

 

b) Chứng minh tương tự câu a ta được 

 

Δ

 

C

 

F

 

G

 

ΔCFG vuông cân tại 

 

G

 

G nên 

 

G

 

F

 

=

 

G

 

C

 

GF=GC và 

 

H

 

B

 

=

 

H

 

E

 

HB=HE

 

Mặt khác 

 

B

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

C

 

BH=HG=GC suy ra 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

=

 

G

 

F

 

EH=HG=GF và 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

FG (cùng vuông góc với 

 

B

 

C

 

)

 

BC)

 

Tứ giác 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có 

 

E

 

H

 

EH // 

 

F

 

G

 

,

 

E

 

H

 

=

 

F

 

G

 

FG,EH=FG nên là hình bình hành.

 

Hình bình hành 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có một góc vuông 

 

H

 

^

 

H

 

  nên là hình chữ nhật

 

Hình chữ nhật 

 

E

 

F

 

G

 

H

 

EFGH có hai cạnh kề bằng nhau 

 

E

 

H

 

=

 

H

 

G

 

EH=HG nên là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 3

loading...

 

Cho 

Δ

A

B

C

ΔABC vuông tại 

A

,

A, đường trung tuyến 

A

M

.

AM. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

C

AC. Trên tia đối của tia 

I

M

IM lấy điểm 

K

K sao cho 

I

K

=

I

M

.

IK=IM.

 

a) Chứng minh 

A

M

C

K

AMCK là hình thoi.

 

b) Chứng minh 

A

K

M

B

AKMB là hình bình hành.

 

c) Tìm điều kiện của 

Δ

A

B

C

ΔABC để tứ giác 

A

M

C

K

AMCK là hình vuông. 

 

Tứ giác 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có hai đường chéo 

 

A

 

C

 

,

 

M

 

K

 

AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông tại 

 

A

 

A có 

 

A

 

M

 

AM là đường trung tuyến nên 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

=

 

M

 

B

 

AM=MC=MB.

 

Vậy hình bình hành 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK có 

 

A

 

M

 

=

 

M

 

C

 

AM=MC nên là hình thoi.

 

b) Vì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình thoi nên 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

BM và 

 

A

 

K

 

=

 

M

 

C

 

=

 

B

 

M

 

AK=MC=BM.

 

Tứ giác 

 

A

 

K

 

M

 

B

 

AKMB có 

 

A

 

K

 

AK // 

 

B

 

M

 

,

 

A

 

K

 

=

 

B

 

M

 

BM,AK=BM nên là hình bình hành.

 

c) Để 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay 

 

A

 

M

 

⊥

 

M

 

C

 

AM⊥MC.

 

Khi đó 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC có 

 

A

 

M

 

AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại 

 

A

 

A.

 

Vậy 

 

Δ

 

A

 

B

 

C

 

ΔABC vuông cân tại 

 

A

 

A thì 

 

A

 

M

 

C

 

K

 

AMCK là hình vuông.

 

[Sửa]

Bài 4

loading...

 

Cho hình vuông 

A

B

C

D

ABCD. Trên các cạnh 

A

B

,

B

C

,

AB,BC, 

C

D

,

D

A

CD,DA lấy lần lượt các điểm 

M

,

N

,

P

,

Q

M,N,P,Q sao cho 

A

M

=

B

N

=

C

P

=

D

Q

.

AM=BN=CP=DQ.

 

a) Chứng minh 

M

B

=

N

C

=

P

D

=

Q

A

.

MB=NC=PD=QA.

 

b) Chứng minh 

Δ

Q

A

M

=

Δ

N

C

P

.

ΔQAM=ΔNCP.

 

c) Chứng minh 

M

N

P

Q

MNPQ là hình vuông.

 

ABCD là hình vuông nên 

 

A

 

B

 

=

 

B

 

C

 

=

 

C

 

D

 

=

 

D

 

A

 

AB=BC=CD=DA

 

Mà 

 

A

 

M

 

=

 

B

 

N

 

=

 

C

 

P

 

=

 

D

 

Q

 

AM=BN=CP=DQ.

 

Trừ theo vế ta được 

 

A

 

B

 

−

 

A

 

M

 

=

 

B

 

C

 

−

 

B

 

N

 

=

 

C

 

D

 

−

 

C

 

P

 

=

 

D

 

A

 

−

 

D

 

Q

 

AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ

 

Suy ra 

 

M

 

B

 

=

 

N

 

C

 

=

 

P

 

D

 

=

 

Q

 

A

 

MB=NC=PD=QA

 

b) Xét 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

ΔQAM và 

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔNCP có:

 

A

 

^

 

=

 

C

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

A

 

 = 

 

C

 

 =90 

 

∘

 

A

 

Q

 

=

 

N

 

C

 

AQ=NC (chứng minh trên)

 

A

 

M

 

=

 

C

 

P

 

AM=CP (giả thiết)

 

Suy ra 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP (c.g.c)

 

c) Từ 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

N

 

C

 

P

 

ΔQAM=ΔNCP suy ra 

 

N

 

P

 

=

 

M

 

Q

 

NP=MQ (hai cạnh tương ứng).

 

Chứng minh tương tự câu b ta có 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

P

 

D

 

Q

 

ΔQAM=ΔPDQ và 

 

Δ

 

Q

 

A

 

M

 

=

 

Δ

 

M

 

B

 

N

 

ΔQAM=ΔMBN.

 

Khi đó 

 

⇒

 

M

 

Q

 

=

 

P

 

Q

 

,

 

M

 

N

 

=

 

M

 

Q

 

⇒MQ=PQ,MN=MQ và 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

=

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

AMQ

 

 = 

 

DQP

 

 .

 

Mà 

 

A

 

M

 

Q

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

AMQ

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

  suy ra 

 

D

 

Q

 

P

 

^

 

+

 

A

 

Q

 

M

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

DQP

 

 + 

 

AQM

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Do đó, 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

 .

 

Tứ giác 

 

M

 

N

 

P

 

Q

 

MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có 

 

M

 

Q

 

P

 

^

 

=

 

90

 

∘

 

MQP

 

 =90 

 

∘

 

  nên là hình vuông

 

[Sửa]

Bài 5

loading...

 

Cho hình chữ nhật 

A

B

C

D

ABCD có 

A

B

=

2

B

C

.

AB=2BC. Gọi 

I

I là trung điểm của 

A

B

AB và 

K

K là trung điểm của 

D

C

.

DC.

 

a) Chứng minh 

A

I

K

D

AIKD và 

B

I

K

C

BIKC là hình vuông.

 

b) Chứng minh 

Δ

D

I

C

ΔDIC vuông cân.

 

c) Gọi 

S

S và 

R

R lần lượt là tâm các hình vuông 

A

I

K

D

,

AIKD, 

B

I

K

C

.

BIKC. Chứng minh 

[

I

S

K

R

[ISKR là hình vuông.

 

Hướng dẫn giải:

a) Vì 

A

B

=

2

B

C

AB=2BC suy ra 

B

C

=

A

B

2

=

A

D

BC= 

2

AB

 

 =AD

 

A

B

C

D

ABCD là hình chữ nhật nên 

A

B

=

D

C

AB=DC suy ra 

1

2

A

B

=

1

2

D

C

2

1

 

 AB= 

2

1

 

 DC do đó 

A

I

=

D

K

=

A

D

AI=DK=AD.

 

Tứ giác 

A

I

K

D

AIKD có 

A

I

AI // 

D

K

,

A

I

=

D

K

DK,AI=DK nên 

A

I

K

D

AIKD là hình bình hành.

 

Lại có 

A

D

=

A

I

AD=AI nên 

A

I

K

D

AIKD là hình thoi.

 

Mà 

I

A

D

^

=

90

∘

IAD

 =90 

∘

  do đó 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông.

 

Chứng minh tương tự cho tứ giác 

B

I

K

C

BIKC

 

b) Vì 

A

I

K

D

AIKD là hình vuông nên 

D

I

DI là tia phân giác 

A

D

K

^

ADK

  hay 

I

D

K

^

=

45

∘

IDK

 =45 

∘

 .

 

Tương tự 

I

C

D

^

=

45

∘

ICD

 =45 

∘

 .

 

Δ

I

D

C

ΔIDC cân có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên là tam giác vuông cân.

 

c) Vì 

A

I

K

D

,

B

C

K

I

AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên 

S

I

=

S

K

=

D

I

2

SI=SK= 

2

DI

 

  và 

I

R

=

R

K

=

I

C

2

IR=RK= 

2

IC

 

 

 

Suy ra 

I

S

K

R

ISKR là hình thoi.

 

Lại có 

D

I

C

^

=

90

∘

DIC

 =90 

∘

  nên 

I

S

K

R

ISKR là hình vuông.