a) Do MN DE tại N, MK 1 DF tại K nên hat MND = 90 deg và hat MKD = 90 deg
 
Tứ giác DKMN có overline KDN = 90 deg ; hat MKD = 90 deg ; hat MND = 90 deg nên DKMN là hình chữ nhật.
 
b) ADEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
 
MD = 1/2 * EF =ME^ * Suy ra AMDE cân tại M.
 
Ta lại có MNI DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của AMDE, suy ra ND = NE = (DE)/2
 
Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).
 
Suy ra DHEM là hình bình hành.
 
Do đó DH // ME và DH = ΜΕ.
 
Mà M là trung điểm EF nên ME = MF
Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.
 
Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.
 
Vậy H, O, F thẳng hàng.
 
c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của
 
Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ADEF
 
Do đó ADEF cân tại D
 
Suy ra ADEF vuông cân tại D.
 
Vậy ADEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

a) Vì $AB=2BC$ suy ra $BC=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{2}=AD$

$ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=DC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC$ do đó $AI=DK=AD$.

Tứ giác $AIKD$ có $AI$ // $DK,AI=DK$nên $AIKD$ là hình bình hành.

Lại có $AD=AI$ nên $AIKD$ là hình thoi.

Mà $\widehat{IAD}={90}^{\circ }$ do đó $AIKD$ là hình vuông.

Chứng minh tương tự cho tứ giác $BIKC$

b) Vì $AIKD$ là hình vuông nên $DI$ là tia phân giác $\widehat{ADK}$ hay $\widehat{IDK}={45}^{\circ }$.

Tương tự $\widehat{ICD}={45}^{\circ }$.

$\Delta IDC$ cân có $\widehat{DIC}={90}^{\circ }$ nên là tam giác vuông cân.

c) Vì $AIKD,BCKI$ là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $SI=SK=\genfrac{}{}{0ex}{}{DI}{2}$ và $IR=RK=\genfrac{}{}{0ex}{}{IC}{2}$

Suy ra $ISKR$ là hình^=90∘

$ta\; lại$

thoi

${ta\; lại\; có\; góc\; DIC=90°}^{\circ }$ nên $ISKR$ là hình vuông.

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
 
Mà AM = BN = CP = DQ
 
Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CPDA - DQ
 
Hay MBNC = PD = QA
 
• Xét AAMQ và ABNM có:
 
MAQNBM=90°;
 
AM = BN (giả thiết);
 
QA = MB (chứng minh trên)
 
Do đó AAMQ = ABNM (hai cạnh góc vuông)
 
Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).
 
Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.
 
Khi đó MN = NP = PQ = QM.
 
• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
 
• Do AAMQ = ABNM (chứng minh trên) nên AMQ=BNM (hai góc tương ứng)
 
Mà BNM + BMN = 90° (do ABMN vuông tại B
 
Suy ra AMQ+BMN = 90°
 
Lại có AMQ+QMN+BMN = 180°
 
Suy ra QMN=180° -(AMQ+BMN)= =180°-90°=90°.
 
• Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.NΔQvà ΔQAMđó ⇒MQ=PQ,AMQ^=AMQ^+AQra ${90}^{\circ }$MQP90

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45°
 
 Vì ABHE vuông tại H có ∠B = 45° nên ABHE vuông cân tại H.
 
Suy ra HB = HE
 
Vì ACGF vuông tại G, có ∠C = 45°nên ACGF vuông cân tại G
 
Suy ra GC = GF
 
Ta có: BH = HG = GC (gt)
 
Suy ra: HE = HG = GF
 
Vì EH // GF nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);
 
Lại có ∠(EHG) = 90° nên HEFG là hình chữ nhật.
 
Mà EH = HG (chứng minh trên).
 
Vậy HEFG là hình vuông.
B45

a: Xét ∆ABC có
 
M,I lần lượt là trung điểm của CB,СА
 
=>MI là đường trung bình của ДАВС
 
=>MI//AB và MI=AB/2
 
Xét tứ giác ABMI có MI//AB
 
nên ABMI là hình thang
 
Hình thang ABMI có ABvuôngAI
 
nên ABMI là hình thang vuông
 
b: Ta có: ∆ABC vuông tại A
 
mà AM là đường trung tuyến
 
nên MA=MB=MC
 
Xét tứ giác AMCD có
 
I là trung điểm chung của AC và MD
 
=>AMCD là hình bình hành
 
Hình bình hành AMCD có MA=MC
 
nên AMCD là hình thoi
c: AMCD là hình thoi
 
=>ACvuôngMD tại I
 
Xét tứ giác AHMI có
 
AHM = AIM = HAI = 90°
 
=>AHMI là hình chữ nhật
 
=>AM cắt HI tại trung điểm của mỗi đường và AM=HI
 
=>O là trung điểm chung của AM và HI
 
Xét ACAM có
 
CO,MI là các đường trung tuyến
 
CO cắt MI tại K
 
Do đó: K là trọng tâm của ACAM
 
Xét ACAM có
 
MI là đường trung tuyến
 
K là trọng tâm của ACAM
Do đó: MK = 2/3 × MI = 2/3 × 1/2 MD = 1/3 × MD Ta có: MK+KD=MD => KD + 1/3 × MD = MD => KD = 2/3 × MD
 
=> KD = 2 × 1/3 × MD = 2MI