a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K

nên MND=90°và MKD=90°

Tứ giác DKMN có KDN=90°;MKD=90°;MND=90°

nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên MD=1/2EF=ME.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra ND=NE=DE/2.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của KDN, hay DM là đường phân giác của .

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

Xét tứ giác AIKD, ta có:

AI = KD (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

AD // IK (vì AD // BC và IK là đường trung bình của tam giác ABC)

góc A= góc D = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy AIKD là hình chữ nhật.

Tương tự, ta chứng minh được BIKC là hình chữ nhật.

Xét tam giác DIC, ta có:

DI = IC (vì I là trung điểm của AB, K là trung điểm của DC và AB = 2BC = DC )

góc D= góc C = 90° (vì ABCD là hình chữ nhật) Vậy tam giác DIC là tam giác vuông cân.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm hình vuông BIKC và Al = KD BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ISKR, ta có:

IS = KR (vì S là tâm hình vuông AIKD, R là tâm

hình vuông BIKC và AI = KD , BK = IC ) góc I= góc K = 90° (vì AIKD và BIKC là hình chữ nhật)

Vậy ISKR là hình chữ nhật.

Ta có:

góc ISK = góc IKR = 90° (vì ISKR là hình chữ nhật)

góc ISK+ góc IKR = 180°

Vậy ISKR là hình vuông.

a. Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB-AM-BC-BNCD-CP-DA-DQ CP=DA

Hay MB = NC = PD = QA

b. Xét góc AMQ và góc BNM có:

góc MAQ = góc NBM = 90°

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó goc AMQ = góc BNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ

Khi dó MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

c.Do (chứng minh trên) nên góc AMQ = góc BNM (hai góc tương ứng) góc AMQ = góc BNM

Mà BNM + BMN = 90° (do góc BMN vuông tại B)

Suy ra góc AMQ + BMN = 90°

Lại có góc AMQ + góc QMN + góc BMN = 180°

Suy ra Q  MN =180°( góc AMQ + góc BMN )= 180° - 90° = 90°

• Hình thoi MNPQ có QMN = 90° nên là hình vuông.

a.Chứng minh AMCK là hình thoi:

Ta có: I là trung điểm của AC, K đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MK.

Suy ra: Tứ giác AMCK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AMCK là hình bình hành.

Mặt khác, AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BC/2.

Do đó, AM = MC.

Vậy, AMCK là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên AMCK là hình thoi.

b.Chứng minh AKMB là hình bình hành:

Ta có: I là trung điểm của AC, K đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MK.

Suy ra: Tứ giác AKMB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AKMB là hình bình hành.

c.Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông:

Để AMCK là hình vuông thì hình thoi AMCK phải có một góc vuông.

Góc vuông đó phải là góc AMK.

Ta có: AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BC/2.

Do đó, để AMK là góc vuông thì AM phải vuông góc với MK.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A.

a. 

Chứng minh tam giác BHE vuông cân:

Ta có: góc BHE = 90° (vì HE vuông góc với BC)

góc ABE = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

góc BHE + góc ABE + góc EHB = 180° (tổng ba góc trong tam giác) Suy ra: EHB = 45°

Do đó: góc BHE = góc EHB = 45°

Vậy tam giác BHE vuông cân tại H.

b.Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông:

Ta có: góc EHG = góc FGH = 90° (vì HE và GF vuông góc với BC)

góc HEF = góc GFH = 90° (vì EF vuông góc với AB và AC)

Do đó: Tứ giác EFGH có 4 góc vuông.

Mặt khác: BH = HG = GC(gt)

Suy ra: EH = GF (hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông bằng nhau)

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Mà EH = GF nên EFGH là hình vuông.

gọi O là gốc tọa độ, Ox và Oy là các trục tọa độ vuông góc với nhau. 

tia phân giác Om chia góc xOy thành hai góc 45°

Lấy điểm A trên Om, kẻ AB vuông Ox tại B và AC vuông góc Oy tại C.

Do A nằm trên tia phân giác Om, nên OA chia đều góc xOy thành hai góc 45°

Vì AB vuông góc Ox và AC vuông góc Oy , nên OAB = 45° và OAC = 45°

Do đó, góc BAC = 90°

Tứ giác OABC có các góc vuông tại A và O, và AB = AC do A nằm trên tia phân giác.

suy ra  OABC là hình vuông.