Vì ABCD là hình bình hành=>AD=BC và AD//BC
=> góc ADH = góc CBK ( tương ứng)
Xét tam gaisc ADH vuông tại H và tam giác BKC vuông tại K có:
AD=BC(gt)
góc ADH=góc CBK(cmt)
=>tam giác ADH= tam giác BKC(ch-gn)
=>AH=CK(tương ứng)
Xét tứ giác AHCK có AH=CK(cmt
                                 AH//CK(cùng vuông góc với BD)
=> tứ giác AHCK là hình bình hành

Có IH=IK(gt)
Mà AHCK là hình bình hành=>AC\(\cap\)HK tại I
=> I là trung điểm của AC
Lại có ABCD là hình bình hành(cmt) và I là trung điểm của AC
=> I là giao điểm của AC và BD => I là trung điểm của BD
=> IB=ID

Có:AD=AE+ED
      BC=BF+FC
Lại có: AE=ED;BF=FC
Mà AD=BC
=>AE=ED=BF=FC
Xét tứ giác EBFD có:
ED//BF(AD//BC)
ED=BF(cmt)
=>tứ giác EBFD là hình bình hành
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD
 Lại có  EBFD là hình bình hành(cmt) và O là trung điểm của BD
=> O là trung điểm của FE
=>EO=FO
=> E,O,F thẳng hàng
 

Có: AB=CD(vì ABCD là hình bình hành)
Lại có: AB=BE(gt);DC=CF(gt)
 =>AB=BE=DC=CF(1)
Có: AE//DF(AB//DC)(2)
Từ (1) và (2) => AEFD là hình bình hành

Xét tức giác ABFC có
AB//CF(AB//CD)
AB=CF(cmt)
=> tứ giác ABFC là hình bình hành
Có trung điểm của AF trùng với trung điểm của DE vì AEFD là hình bình hành
Lại có trung điểm của AF trùng với trung điểm của BC vì ABFC là hình bình hành
=> trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau
 

Xét tam giác AOB và tam giác DOC có
OA=OC(vì O là trung điểm AC)
góc AOB = góc DOC(đối đỉnh)
BO=DO(vì O là trung điểm BD)
=> tam giác AOB = tam giác DOC
=>góc OAB=góc OCD(tương ứng)
Xét tám giác OAM và tam giác OCN có:
góc OAB=góc OCD(cmt)
OA=OC(vì O là trung điểm của AC)
góc AOM = góc NOC (đối đỉnh)
=> tam giác OAM= tam giác OCN
=>MO=NO(2 cạnh tương ứng)
=>O là trung điểm MN
Tứ giác MBND có DB \(\cap\) MN tại O
Mà O là trung điểm của BD và MN
=> tứ giác MBND là hình bình hành


 

có:AB=AE+EB
    DC=DF+DC
Lại có AB=DC
Mà E là trung điểm AB
      F là trung điểm DC
=> AE=EB=DF=FC
Có: AB//DF mà E thuộc AB,F thuộc DC
=>AE//DF
Xét tứ giác AEFD có:
AE//DF(cmt)
AE=DF(cmt)
=> tứ giác AEFD là hình bình hành
Chứng minh tương tự có:
EB//FC
EB=FC
=> tứ giác AECF là hình bình hành
b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên=> EF=AD
   Có AE=CF(cmt) (1)
       AE//FC(AB//CD) (2)
    Từ (1) và (2) => tứ giác AECF là hình bình hành
    => AF=CE(đpcm)