Ta có:

 \(\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{x+y}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}{4}\\ \Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\\ \Leftrightarrow2ax+2by-ax-ay-bx-by\ge0\\ \Leftrightarrow ax+by-ay-bx\ge0\\ \Leftrightarrow a\left(x-y\right)-b\left(x-y\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)

Mà a ≥ b, x ≥ y => (a - b)(x - y) ≥ 0 luôn đúng

Ta có: 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

<=> 4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

<=> x² + 4xy + 4y² + 3x² + 6x + 3 ≥ 0

<=> (x + 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

=> ∀x,y ϵ R, 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

Nếu n chia hết cho 3 

=> n = 3k (k ϵ Z)

=> n(n + 1) = 3k(3k + 1)

TH1: Nếu k chẵn

=> k = 2t (t ϵ Z)

<=> 3k(3k + 1) = 6t(6t + 1) 

Mà 6t(6t + 1) ⋮ 6 => Nếu k chẵn thì n(n + 1) ⋮ 6 (1)

TH2: Nêu k lẻ

=> k = 2t + 1 (t ϵ Z)

<=> 3k(3k + 1) = 3(2t + 1)[3(2t + 1) + 1]

<=> 3k(3k + 1) = 3(2t + 1)(6t + 4)

<=> 3k(3k + 1) = 3(2t + 1).2(3t + 2) 

<=> 3k(3k + 1) = 6(2t + 1)(3t + 2)

Mà 6(2t + 1)(3t + 2) ⋮ 6 => Nếu k lẻ thì n(n + 1) ⋮ 6 (2)

Từ (1),(2) => nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1) chia hết cho 6

Ta có: n lẻ <=> 2k + 1 (k ϵ Z) 

=> n³ = (2k + 1)³

<=> n³ = 8k³ + 12k² + 6k + 1

<=> n³ = 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1

Mà 2(4k³ + 6k² + 3k) là số chẵn

=> 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1 lẻ

=> n³ lẻ