Nối $B$ và $C$. Kẻ $CH\perp AB$ ($H\in AB$).

Sau $1,5$ giờ tàu $B$ chạy được quãng đường là: $AB=20.1,5=30$ (hải lí).

Sau $1,5$ giờ tàu $C$ chạy được quãng đường là: $AC=15.1,5=22,5$ (hải lí).

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$CH=AC.\sin A=22,5.\sin 60^{\circ }=\genfrac{}{}{0ex}{}{45\sqrt{3}}{4}$ (hải lí).

$AH=AC.\cos A=22,5.\cos 60^{\circ }=11,25$ (hải lí).

Do đó $BH=AB-AH=30-11,25=18,75$ (hải lí).

Mặt khác, tam giác $CHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{(18,75{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{45\sqrt{3}}{4}{)}^2}\approx 27,04$ (hải lí).

Vậy sau $1,5$ giờ tàu $B$ cách tàu $C$ là $27,04$ hải lí.

a) $\Delta BKC\backsim \Delta DHC$ (g. g)

Vì $\hat{K}=\hat{H}=90^{\circ }$ 

$\hat{D}=\hat{B}$ (cùng bằng $\hat{A}$)

$\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{HC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{DC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{HC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AB}$ (*)

Xét tứ giác $AKCH$ có: $\hat{A}+\widehat{HCK}=180^{\circ }$;

$\hat{A}+\widehat{ABC}=180^{\circ }$

Suy ra: $\widehat{ABC}=\widehat{HCK}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\Delta CKH\backsim \Delta BCA$ (c-g-c)

b) $\Delta CKH\backsim \Delta BCA$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{HK}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CK}{BC}$

$HK=AC.\genfrac{}{}{0ex}{}{CK}{BC}=AC.\sin \widehat{KBC}$ mà $\widehat{BAD}=\widehat{KBC}$ (cặp góc đồng vị) nên $HK=AC.\sin BAD$

Gọi $x,y$(đồng) lần lượt là giá niêm yết của mỗi mặt hàng $A$ và $B$ $(x>0,y>0)$

Một khách hàng mua hai món hàng $A$ và một món hàng $B$ thì phải trả số tiền là $362000$ đồng nên ta có:

$80\%x.2+85\%y=362000$ hay $1,6x+0,85y=362000$ (1)

Trong khung giờ vàng khách hàng mua ba món hàng $A$ và hai món hàng $B$ trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là $552000$ đồng nên ta có:

$70\%x.3+75\%y.2=552000$ hay $2,1x+1,5y=552000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: {1,6x+0,85y=3620002,1x+1,5y=552000{​1,6x+0,85y=3620002,1x+1,5y=552000​

Giải hệ phương trình ta được: {x=120000y=200000{​x=120000y=200000​

Vậy giá niêm yết của mặt hàng $A$ là $120000$ đồng, mặt hàng $B$ là $200000$ đồng.

 a) Ta có $(2x+1{)}^2-9x^2=0$

$(2x+1-3x)(2x+1+3x)=0$

$(-x+1)(5x+1)=0$

+ Giải phương trình $-x+1=0$

$x=1$

+ Giải phương trình $5x+1=0$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=1$ và $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{5}$.

b) Ta có: {5x−4y=32x+y=4{​5x−4y=32x+y=4​

{5x−4y=38x+4y=16{​5x−4y=38x+4y=16​

{13x=192x+y=4{​13x=192x+y=4​

{x=1913y=1413⎩⎨⎧​​x=1319​y=1314​​

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{13};\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{13})$.

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là $x$ (km/h) ($x>6$ ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là $x+6$ (km/h)

Ta có $x\le 40$ nên $x+6\le 40+6$, tức là $x+6\le 46$

Gọi $s$ (km) là quãng đường ca nô đi được trong $2$ giờ $30$ phút $=2,5$ giờ

Ta có $s=2,5.(x+6)$ (km).

Do $x+6\le 46$ nên $2,5.(x+6)<2,5.46$ hay $s\le 115$

Vậy quãng đường ca nô đi được trong $2$ giờ $30$ phút không vượt quá $115$ km.