Bài 4
Xét △ ABC có :  D là trung điểm của AC ( BD là đường trung tuyến của ∆ABC )
                                                                 E là trung điểm của AB    (  CE là đường trung tuyến của ∆ABC ) 
⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC ( DHNB đtb) 
⇒ DE = 1/2 BC và DE // BC  ( t/ch đường trung bình)
⇒ BCDE là hình thang ( DHNB hình thang) 
Xét hình thang BCDE có: 

 M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE (DHNB đường trg bình) 
⇒ MN // DE // BC ( t/ch đtb) 

⇒ MI // DE, NK // DE ( vì MN // DE và I,E ∈ DE) 

Xét ∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD ( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3) 
⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE ( DHNB đường trg bình) 
⇒ MI = 1/2 DE ( t/ch đtb) (1) 

Xét ∆CDE có: 

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE ( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3) 

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE ( DHNB đường trg bình) 

⇒ NK = 1/2  DE  ( t/ch đtb) (2)

⇒ MI = NK = 1/2 DE

⇒ MI + NK = DE

Từ đó ta có:

MN = 1/2(DE + BC) 

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = 1/2(DE + 2DE) hay  DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK hay  DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

Bài 3: 
a) Xét ΔABC có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của ΔABC) 

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của ΔABC)

⇒MN là đường trung bình của ΔABC ( DHNB đường trung bình) 

⇒MN // BC ( t/ch ĐTB)  (1)

ΔABC có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)⇒DE là đường trung bình của ΔGBC ( DHNB đường trung bình)

⇒DE // BC  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒MN // DE ( cùng // BC) 

b) 

b) Do MN là đường trung bình của ΔABC(cmt)

⇒2⇒MN= 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của ΔGBC(cmt)

⇒2⇒DE=1/2 BC 
​
  (4)

Từ (3) và (4) ⇒MN=DE ( = 1/2 BC)

Xét tứ giác MNDE có:

MN // DE (cmt)

MN=DE
(cmt)
 

⇒MNDE là hình bình hành ( DHNB hbh) 
⇒ND//ME ( t/ch hbh)

a) Gọi E là trung điểm của MC
Từ gt có AM= 1/2 MC ⇒ AM= ME= EC (=1/2 MC)
Xét△ BCM có: ME=EC (E là trung điểm của MC)
                      DB=DC (gt)

⇒DE là đường trung bình của △ BCM (DHNB đg trung bình)

=> DE//BM 

Xét △ ADE có:

BM//DE (cmt)

=>OM//DE ( O ∈ BM )
⇒OA= OD( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)
⇒ O là trung điểm của AD
b) Xét △ BCM có: DE là đường trung bình của △ BCM ( cmt) 

⇒ DE= 1/2 BM ( t/ch đường trung bình)  (1)

Xét △ ADE có :  O là trung điểm của AD (cmt )
                        M là trung điểm của AM ( AM= ME) 
⇒OM là đường trung bình của △ADE ( DHNB đường trg bình) 
⇒OM= 1/2 DE ( t/ch đường trung bình) (2)
Từ (1) và (2)⇒ OM= 1/2 .1/2= 1/4 BM

Kẻ MN// BD, N ∈ AC
Xét △CBD có: M là trung điểm của BC ( AM là đường tung tuyến)
                       MN// BD (gt) 
⇒N là trung điểm của DC ( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)
⇒DN=NC (1)
Xét △ AMN có: I là trung điểm cua AM (gt)
                         ID//MN ( vì BD// MN và I ∈ BD)
⇒D là trung điểm của AN ( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)
⇒AD=DC (2)
mà DN= 1/2 DC ( vì N là trđ của DC) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AD= 1/2 DC
b) Xét △CBD có: M là trung điểm của BC ( AM là đường tung tuyến)
                            N là trung điểm của DC ( cmt)
⇒MN là đường trg bình của △CBD ( DHNB đg trg bình)
⇒MN = 1/2 BD
Xét △ AMN có: I là trung điểm cua AM (gt)
                        D là trung điểm của AN ( cmt)
⇒ID là đường trg bình của △AMN ( DHNB đg trg bình)
⇒ID = 1/2 MN
=> BD: ID = (2MN): (1/2 MN) = 4
Vậy BD= 4ID