(n+7)^2-(n-5)^2

=n^2+14n+7^2-n^2+10n-5^2

=24n+24

24(n+1) chia hết cho 24

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đó lần lượt là a, b

Vì chu vi hình chữ nhật gấp 8 lần chiều rộng nên ta có:

$(a+b)\times 2=8\times b$

$a\times 2+b\times 2=8\times b$

$a\times 2=8\times b-b\times 2$

$a\times 2=b\times (8-2)$

$a\times 2=b\times 6$

$a=\genfrac{}{}{0ex}{}{b\times 6}{2}=b\times 3$

hay chiều dài gấp 3 lần chiều rộng

+ 10 từ chỉ sự vật: Mặt trời, mặt trăng, bàn, ghế, bút, bảng, phấn, vở, sách; tủ

+ 10 từ chỉ hoạt động: Chạy, nhảy, cười, nói, khóc, nấu ăn, đọc sách, nghe nhạc, chơi cờ, đá bóng, 

+ 10 từ chỉ đặc điểm: vui tính, chăm chỉ, ngoan ngoãn, lễ phép, sáng tạo, cần cù, siêng năng, tháo vát, bé bỏng, cao lớn. 

Vì n.(n +  1)là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong hai số liên tiếp luôn luôn có một số chẵn

⇒ n.(n + 1) là số chẵn, cộng thêm 1 là số lẻ.

⇒ n.(n + 1)+ 1 là số lẻ

⇒  n.(n+ 1)+ 1 không chia hết cho 2.

Để chứng minh n.(n +1) + 1  không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n +1 có các chữ số tận cùng sau:
n  ∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 }

Tương ứng số tận cùng của n + 1 lần lượt là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;0.

⇒ tích của n.(n +1)  tận cùng là 0; 2; 6; 0; 0; 2; 6; 2; 0.

Hay là n.(n + 1)  + 1 tận cùng là: 1; 3; 7 không chia hết cho 5.

Vì n.(n 1) + là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong hai số liên tiếp luôn luôn có một số chẵn
⇒ + n.(n 1) là số chẵn, cộng thêm 1 là số lẻ.
⇒ ++ n.(n 1) 1 là số lẻ
⇒ ++ n.(n 1) 1 không chia hết cho 2.
Để chứng minh n.(n 1) 1 + + không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n 1+ có các chữ số tận cùng
sau:
n 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ∈{ }
Tương ứng số tận cùng của n 1+ lần lượt là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0.
⇒ tích của n.(n 1) + tận cùng là 0; 2; 6; 0; 0; 2; 6; 2; 0.
Hay là n.(n 1) 1 + + tận cùng là: 1; 3; 7 không chia hết cho 5.

Giả sử có số a thuộc N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì a= 15b+6 chia hết cho 3, a=9c+1 không chia hết cho 3

Đó là điều mâu thuẫn.

Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn.(đpcm)

Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

A = n4−4n3−4n2+16nA

   =[n4−4n3]−[4n2−16n]

   =n3(n−4)−4n(n−4)

   =n(n−4)[n2−4]

   =n(n−2)(n+2)(n−4)

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : 

A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k−2)

  =16k(k−1)(k+1)(k+2)

  =16(k−1)(k)(k+1)(k+2)

Ta nhận thấy (k−1)(k)(k+1)(k+2) là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp, tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm

Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :

A = n4−4n3−4n2+16nA

   =[n4−4n3]−[4n2−16n]

   =n3(n−4)−4n(n−4)

   =n(n−4)[n2−4]

   =n(n−2)(n+2)(n−4)

Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : 

A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k−2)

  =16k(k−1)(k+1)(k+2)

  =16(k−1)(k)(k+1)(k+2)

Ta nhận thấy (k−1)(k)(k+1)(k+2)(k−1)(k)(k+1)(k+2)là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24

Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm