a) Ta có $\widehat{O^1}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ và $\widehat{O^2}+\widehat{O^3}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$.

Mặt khác $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}={45}^{\circ }$.

Xét $\Delta AOP$ và $\Delta BOR$ có

    $OA=OB$ ( giả thiết)

    $\widehat{A^1}=\widehat{B^1}=45^{\circ }$

    $\widehat{O^1}=\widehat{O^2}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta AOP=\Delta BOR$ (g.c.g)

b) Từ $\Delta AOP=\Delta BOR$ suy ra $OP=OR$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự cho $\Delta OBR=\Delta OCQ$ và $\Delta OCQ=\Delta ODS$

Suy ra $OR=OQ$ và $OQ=OS$.

Khi đó $OP=OR=OS=OQ.$

c) Tứ giác $PRQS$ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Mà $\Delta OPR$ có $OP=OR$ và $\widehat{POR}={90}^{\circ }$ nên $\Delta OPR$ là tam giác vuông cân tại $O$

Suy ra $\widehat{P^1}={45}^{\circ }$.

Tương tự $\widehat{P^2}={45}^{\circ }$ nên $\widehat{RPS}=\widehat{P^1}+\widehat{P^2}={90}^{\circ }$.

Hình thoi $PRQS$ có $\widehat{RPS}={90}^{\circ }$ nên nó là hình vuông.

Ta có: I là trung điểm AC (GT) (1)

Có : IK = IM (GT)

Do đó: I là trung điểm KM (định nghĩa trung điểm của một đoạn thẳng) (2)

Mà : AC cắt KM tại I (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Tứ giác AMCK là hình bình hành ( DHNB) (*)

Có : AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC (GT)

Suy ra: M là trung điểm BC (tính chất)

Nên: MB = MC (tính chất trung điểm của một đoạn thẳng)

Mà: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC (GT)

       Tam giác ABC vuông tại A (GT)

Do đó: AM=MB=MC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Hay: AM=MC (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

AMCK là hình thoi (DHNB hình thoi)

b) Ta có: AMCK là hình thoi (chứng minh trên)

Nên: AK // BM (tính chất hình thoi)

        AK = BM (tính chất hình thoi)

Mà: MC = BM (chứng minh trên)

Suy ra: AK = MC = BM

Hay: AK // BM 

Xét tứ giác AKMB có:

AK // BM (chứng minh trên)

AK = BM (chứng minh trên)

Suy ra: AKMB là hình bình hành (DHNB hình bình hành)

c) ĐK: Tam giác ABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông.

a) Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A (GT)

Nên: góc BAC = góc ACB = 45 độ (tính chất tam giác vuông cân)

Hay : góc EBH = 45 độ (Do E thuộc AB)

Có: EH vuông góc với BC (GT)

Do đó: góc EHB = 90 độ (tính chất 2 đường thẳng vuông góc)

Suy ra: Tam giác BHE vuông tại H (định nghĩa tam giác vuông)

Xét tam giác BHE vuông tại H có:

góc EBH + góc BEH = 90 độ (hai góc phụ nhau)

45 độ + góc BEH = 90 độ

             góc BEH = 45 độ

Hay : góc EBH = góc BEH = 45 độ

Do đó: Tam giác BHE là tam giác cân (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Mà: Tam giác BHE vuông tại H (chứng minh trên)

Suy ra:  Tam giác BHE là tam giác vuông cân (DHNB)

b) Ta có: Tam giác BHE vuông cân tại H (chứng minh trên)

Nên: BH = EH (tính chất)

Mà: BH = HG = GC (GT)

Suy ra: EH = HG (1)

Có: EH vuông góc với BC (GT)

       FG vuông góc với BC (GT)

Do đó: góc EHG = 90 độ (tính chất 2 đường thẳng vuông góc)

            góc FGH = 90 độ (tính chất 2 đường thẳng vuông góc)

             EH // FG (tính chất từ vuông góc đến song song)

Nên: góc BHE = góc HEF (tính chất 2 đường thẳng song song)

Mà: góc BHE = 90 độ (chứng minh trên)

Suy ra: góc HEF = 90 độ

Xét tứ giác EFGH có:

-Góc HEF = 90 độ (chứng minh trên)

-Góc EHG = 90 độ (chứng minh trên)

-Góc FGH = 90 độ (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác EFGH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tứ giác EFGH là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

Ta có: AB vuông góc với Ox (GT)

           AC vuông góc với Oy (GT)

Suy ra: góc ABO = 90 độ (tính chất 2 đường thẳng vuông góc)

             góc ACO = 90 độ (tính chất 2 đường thẳng vuông góc)

Có: góc xOy = 90 độ (GT)

Mà: C thuộc Oy, B thuộc Ox

Do đó: góc COB = 90 độ

Xét tứ giác ACOB có:

-Góc ABO = 90 độ (chứng minh trên)

-Góc COB= 90 độ (chứng minh trên)

-Góc ACO= 90 độ (chứng minh trên)

Nên: Tứ giác ACOB là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (1)

Lại có: Om là tia phân giác của góc COB (GT)

Mà : A thuộc Om

Suy ra: AB = AC (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tứ giác ACOB là hình vuông (Dấu hiệu nhận biết hình vuông)

                                        (ĐPCM)

Giải

Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật đó là:

(5,5+3,75).2=18,5 (m)

Số khóm hoa cần trồng ban đầu là:

18,5:\(\dfrac{1}{4}\)= 74 (khóm)

Theo đề bài: dọc theo các cạnh của mảnh vườn để trồng những khóm hoa, do đó không tính 4 khóm hoa trồng ở bốn góc vườn nên số khóm hoa cần trồng là:

74-4=70 (khóm)

Vậy cần trồng 70 khóm hoa 

a)\(\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}:x=0,75\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{5}:x=\dfrac{11}{20}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}:\dfrac{11}{20}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{11}\)

Vậy \(x=\dfrac{16}{11}\)

b)\(x+\dfrac{1}{2}=1-x\)

\(\Leftrightarrow x+x=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(x=\dfrac{1}{4}\)

a)\(\dfrac{2}{3}.\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\)

\(=\dfrac{1}{3}\)

b)\(2.\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{2^{ }}-\dfrac{7}{2}\)

\(=2.\dfrac{9}{4}-\dfrac{7}{2}\)

\(=\dfrac{9}{2}-\dfrac{7}{2}\)

\(=1\)

c)\(-\dfrac{3}{4}.5\dfrac{3}{13}-0,75.\dfrac{36}{13}\)

\(=-\dfrac{3}{4}.\dfrac{68}{13}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{36}{13}\)

\(=\dfrac{3}{4}.\left(\dfrac{-68}{13}\right)-\dfrac{3}{4}.\dfrac{36}{13}\)

\(=\dfrac{3}{4}.\left(\dfrac{-68}{13}-\dfrac{36}{13}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}.\left(-8\right)\)

\(=\dfrac{-24}{4}\)

\(=-6\)

a)\(\left(\dfrac{1}{2}+1,5\right).x=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\right).x=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{10}\)

Vậy \(x=\dfrac{1}{10}\)

b)\(\left(-1\dfrac{3}{5}+x\right):\dfrac{12}{13}=2\dfrac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-8}{5}+x\right):\dfrac{12}{13}=\dfrac{13}{6}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-8}{5}+x\right)=\dfrac{13}{6}.\dfrac{12}{13}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-8}{5}+x\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-8}{5}+x=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-\left(\dfrac{-8}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{18}{5}\)

Vậy \(x=\dfrac{18}{5}\)

c)\(\left(x:2\dfrac{1}{3}\right).\dfrac{1}{7}=\dfrac{-3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\left(x:\dfrac{7}{3}\right).\dfrac{1}{7}=\dfrac{-3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\left(x:\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{-3}{8}:\dfrac{1}{7}\)

\(\Leftrightarrow x:\dfrac{7}{3}=\dfrac{-21}{8}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-21}{8}.\dfrac{7}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-49}{8}\)

Vậy \(x=\dfrac{-49}{8}\)

d)\(\dfrac{-4}{7}.x+\dfrac{7}{5}=\dfrac{1}{8}:\left(-1\dfrac{2}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-4}{7}.x+\dfrac{7}{5}=\dfrac{1}{8}:\left(\dfrac{-5}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-4}{7}.x+\dfrac{7}{5}=\dfrac{-3}{40}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-4}{7}.x=\dfrac{-3}{40}-\dfrac{7}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-4}{7}.x=\dfrac{-59}{40}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-59}{40}:\left(\dfrac{-4}{7}\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{413}{160}\)

Vậy \(x=\dfrac{413}{160}\)

a)\(\dfrac{1}{2}-\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}\)

Vậy \(x=\dfrac{-2}{3}\)

b)\(\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{5}{8}-x\right)=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{8}-x\right)=\dfrac{1}{5}-\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{8}-x\right)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{40}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{8}-x\right)=\dfrac{1}{40}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{8}-x=\dfrac{1}{40}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\)

Vậy \(x=\dfrac{3}{5}\)

\(-1,62+\dfrac{2}{5}+x=7\)

\(\Leftrightarrow x=7-\dfrac{2}{5}+1,62\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{33}{5}+1,62\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{33}{5}+\dfrac{81}{50}\)

\(\Leftrightarrow x=8,22\)

Vậy \(x=8,22\)

b)\(4\dfrac{3}{5}-x=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{23}{5}-x=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{23}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{24}{5}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{48}{10}-\dfrac{5}{10}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{10}\)

Vậy \(x=\dfrac{43}{10}\)

c)\(\dfrac{-4}{7}-x=\dfrac{3}{5}-2x\)

\(\Leftrightarrow2x-x=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{7}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{41}{35}\)

Vậy \(x=\dfrac{41}{35}\)

d)\(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{13}+0,25=3\dfrac{1}{2}-x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{2}-x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{39}{14}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{507}{182}+\dfrac{14}{182}-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{521}{182}-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1042}{364}-\dfrac{91}{364}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{951}{364}\)

Vậy \(x=\dfrac{951}{364}\)