Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AM = BN = CP = DQ (gt)

Nên: PD = QA = MB = NC

* Xét tam giác CPN và tam giác DQP,ta có:

CP = DQ (gt)

góc (PCN) = góc (PDQ) = 90°

NC = DP (chứng minh trên)

Suy ra: tam giác CPN = tam giác DQP (c.g.c) 

Hay PN=PQ

* Xét △DQPvà △AMQ,ta có: DQ=AM (gt)

             góc(QDP) = góc(MAQ) = 90°

            PD = QA ( chứng minh trên)

Suy ra: △DQP = △AMQ (c.g.c)  

Do đó:PQ=QM(2)

* Xét △AMQ và △BNM,ta có: AM=BN (gt)

            góc A = góc B = 90 độ

             BM = AQ ( chứng minh trên)

Suy ra: △AMQ = △BNM (c.g.c)  QM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: QP =PN = NM = MQ 

Hay tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác: △CPN = △PDQ

Suy ra : góc (CNP) = góc(DPQ)

Mà góc(CNP) + góc(CPN) = 90 độ

Góc(DPQ) + góc(CPN) = 90 độ

Ta có: góc(DPQ) + góc(QPN) + góc(NPC ) = 180 độ

Suy ra: góc(QPN ) = 180° -( góc(DPQ ) + góc(NPC) )= 180° - 90° = 90°

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông 

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

AN là đg trung tuyến

Suy ra: AM=MB=MC=BC/2

Xét tứ giác AMQC CÓ

I là trung điểm AC và MK

Nên:AMCK là HBH(DHNB)

Xét HBH AMCK có:

AM=NC

Suy ra: AMCK là hình thôi

b)Ta có: AK//MC

Mà:B thuộc BC

Suy ra: AK//BM

Lại có: AK=MC

BM=MC

Suy ra:AK=BM

Xét tứ giác giác AKMB có:

AK//BM

SUY RA: AK=BM

Hay:AKMB là HBH

c) Để hình thoi AMCK là hình vuông thì

AC=MK

MK=AB

SUY RA: AC=AB

DO ĐÓ: TAM GIÁC ABC CÂN TẠI A

Ta có:Tam giác ABC vuông cân tại A(GT)

Nên:Góc ABC=góc ACB(tính chất)

MÀ: E thuộc AB, H thuộc BC(GT)

F thuộc AC,G thuộc BC(GT)

Suy ra:góc EBH=góc FGC

Lại có: EH vuông góc BC

Do đó: góc EHB=90°

FG vuông góc BC(GT)

Suy ra:góc FGC=90°

Xét tam giác EHB vuông tại H và tam giác FGC vuông tại G có:

BH=GC(GT)

Góc EBH= góc FCG(CMT)

Do đó: tam giác EHB = tam giác FGC(cgv-gnk)

Hay:EH=FG( hai cạnh tương ứng)

Mặt khác : góc BBE = góc HGF

Mà : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra: tứ giác EHGF là hình thoi( đấu hiệu nhận biết)(1)

có:FGH=90°(2)

Từ 1 và 2 Suy ra EHGF là hình vuông(DHNB)

Hay:EH=HG

Mà BH=HG=GC(GT)

NÊN:EH=BH

Góc BHE =90°

Suy ra: tam giác BHE là tam giác vuông cân

Ta có: góc xOy =90°(GT)(1)

AB vuông góc Ox(GT)

nên góc ABx=90°

AC vuông góc Oy(GT)

nên ACy=90°

Mà : điểm O thuộc Bx 

Suy ra: góc ABO=90°(2)

Điểm O thuộc Cy 

do đó: ACO=90°(3)

Từ 1,2 và 3 suy ra:

tứ giác OBAC là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết HCN)

Ta lại có:Om là tia phân giác của góc COB

Hay:OBAC là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông )